Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.8

Poiché $105$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $105 x$ rispetto a $x$ è $105 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $105$ per $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 + 0)$

Passaggio 1.2.12

Somma $- 3 x^{2} + 6 x + 105$ e $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105)$ .

$(- 3 x^{2} + 6 x + 105) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 3 x^{2} + 6 x + 105$ per $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2} + 6 x + 105$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Scomponi $3$ da $105$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.1.5

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (35)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 35 = - 35$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Riscrivi $2$ come $- 5$ più $7$ .

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 7) x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 7 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.3.3.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 7 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{3 (x (- x - 5) - 7 (- x - 5))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 5$ .

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 7))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.5

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.7

Riscrivi $- (x + 5)$ come $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.9

Scomponi $- 1$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 105 x + 1}$

Passaggio 1.3.11

Scomponi $- 1$ da $105 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 105 x) + 1}$

Passaggio 1.3.12

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 105 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) + 1}$

Passaggio 1.3.13

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) - 1 (- 1)}$

Passaggio 1.3.14

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

Passaggio 1.3.15

Riscrivi $- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)$ come $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

Passaggio 1.3.16

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

Passaggio 1.3.17

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = (x + 5) (x - 7)$ e $g (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) \frac{d}{d x} ((x + 5) (x - 7)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 5$ e $g (x) = x - 7$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) \frac{d}{d x} (x - 7) + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)) + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 7)) + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) (1 + 0) + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) ((x + 5) \cdot 1 + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $x + 5$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) \frac{d}{d x} (x + 5)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) (1 + \frac{d}{d x} (5))) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) (1 + 0)) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + (x - 7) \cdot 1) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.8.2

Moltiplica $x - 7$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (x + 5 + x - 7) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x + 5 - 7) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.8.4

Sottrai $7$ da $5$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 105 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.11

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.13

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 105 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.14

Poiché $- 105$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 105 x$ rispetto a $x$ è $- 105 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.16

Moltiplica $- 105$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.17

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105 + 0)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.18.1

Somma $3 x^{2} - 6 x - 105$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.18.2

$3$ e $\frac{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) - (x + 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2) + (- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ((x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2)) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Espandi $(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1) (2 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = \frac{3 (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.5.3.1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 \cdot x^{3} - 3 x^{2} (2 x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 3 \cdot (2 x^{2} x) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.2.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 3 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.5.3.1.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 3 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 3 \cdot (2 x^{3}) - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.6

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} - 3 x^{2} \cdot - 2 - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.7

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 105 x (2 x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 105 \cdot (2 x \cdot x) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.9

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.2.9.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 105 \cdot (2 (x \cdot x)) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.9.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 105 \cdot (2 x^{2}) - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.10

Moltiplica $- 105$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} - 105 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.11

Moltiplica $- 2$ per $- 105$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} + 210 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.12

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} + 210 x - 2 x - 1 \cdot - 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.2.13

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} + 210 x - 2 x + 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Sottrai $6 x^{3}$ da $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 210 x^{2} + 210 x - 2 x + 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.4

Sottrai $210 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 204 x^{2} + 210 x - 2 x + 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.5

Sottrai $2 x$ da $210 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4} - 8 x^{3} - 204 x^{2} + 208 x + 2) + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (2 x^{4}) + 3 (- 8 x^{3}) + 3 (- 204 x^{2}) + 3 (208 x) + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.7.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} + 3 (- 8 x^{3}) + 3 (- 204 x^{2}) + 3 (208 x) + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.7.2

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} + 3 (- 204 x^{2}) + 3 (208 x) + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.7.3

Moltiplica $- 204$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 3 (208 x) + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.7.4

Moltiplica $208$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 3 \cdot 2 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.7.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x - 1 \cdot 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.8

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x - 5) (x - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.9

Espandi $(- x - 5) (x - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x (x - 7) - 5 (x - 7)) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 7 - 5 (x - 7)) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x \cdot x - x \cdot - 7 - 5 x - 5 \cdot - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- (x \cdot x) - x \cdot - 7 - 5 x - 5 \cdot - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x^{2} - x \cdot - 7 - 5 x - 5 \cdot - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.2

Moltiplica $- 7$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x^{2} + 7 x - 5 x - 5 \cdot - 7) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x^{2} + 7 x - 5 x + 35) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.2

Sottrai $5 x$ da $7 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 ((- x^{2} + 2 x + 35) (3 x^{2} - 6 x - 105))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.11

Espandi $(- x^{2} + 2 x + 35) (3 x^{2} - 6 x - 105)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 1 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{2 + 2}) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 1 \cdot (3 x^{4}) - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - x^{2} (- 6 x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 6 x^{2} x) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 6 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.5.3.1.12.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 6 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} - 1 \cdot (- 6 x^{3}) - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.6

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 105 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.7

Moltiplica $- 105$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.9

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.9.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 \cdot (3 (x^{2} x)) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.5.3.1.12.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 2 \cdot (3 x^{3}) + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} + 2 x (- 6 x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.11

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} + 2 \cdot (- 6 x \cdot x) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.12

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.12.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} + 2 \cdot (- 6 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.12.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} + 2 \cdot (- 6 x^{2}) + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.13

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x \cdot - 105 + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.14

Moltiplica $- 105$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} - 210 x + 35 (3 x^{2}) + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.15

Moltiplica $3$ per $35$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} + 35 (- 6 x) + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.16

Moltiplica $- 6$ per $35$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} - 210 x + 35 \cdot - 105)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.17

Moltiplica $35$ per $- 105$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 6 x^{3} + 105 x^{2} + 6 x^{3} - 12 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} - 210 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.13

Somma $6 x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 105 x^{2} - 12 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} - 210 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.14

Sottrai $12 x^{2}$ da $105 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 93 x^{2} - 210 x + 105 x^{2} - 210 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.15

Somma $93 x^{2}$ e $105 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 198 x^{2} - 210 x - 210 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.16

Sottrai $210 x$ da $- 210 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 198 x^{2} - 420 x - 3675)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.17

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (12 x^{3}) + 3 (198 x^{2}) + 3 (- 420 x) + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.18.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 3 (12 x^{3}) + 3 (198 x^{2}) + 3 (- 420 x) + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.18.2

Moltiplica $12$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 36 x^{3} + 3 (198 x^{2}) + 3 (- 420 x) + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.18.3

Moltiplica $198$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 36 x^{3} + 594 x^{2} + 3 (- 420 x) + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.18.4

Moltiplica $- 420$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 36 x^{3} + 594 x^{2} - 1260 x + 3 \cdot - 3675}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.1.18.5

Moltiplica $3$ per $- 3675$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 - 9 x^{4} + 36 x^{3} + 594 x^{2} - 1260 x - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.2

Sottrai $9 x^{4}$ da $6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} - 24 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 36 x^{3} + 594 x^{2} - 1260 x - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.3

Somma $- 24 x^{3}$ e $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 612 x^{2} + 624 x + 6 + 594 x^{2} - 1260 x - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.4

Somma $- 612 x^{2}$ e $594 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 18 x^{2} + 624 x + 6 - 1260 x - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.5

Sottrai $1260 x$ da $624 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 18 x^{2} - 636 x + 6 - 11025}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.6

Sottrai $11025$ da $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 18 x^{2} - 636 x - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $3$ da $- 3 x^{4} + 12 x^{3} - 18 x^{2} - 636 x - 11019$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 12 x^{3} - 18 x^{2} - 636 x - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.2

Scomponi $3$ da $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3}) - 18 x^{2} - 636 x - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.3

Scomponi $3$ da $- 18 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) - 636 x - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $3$ da $- 636 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 212 x) - 11019}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.5

Scomponi $3$ da $- 11019$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 212 x) + 3 (- 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6

Scomponi $3$ da $3 (- x^{4}) + 3 (4 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 212 x) + 3 (- 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.7

Scomponi $3$ da $3 (- x^{4} + 4 x^{3}) + 3 (- 6 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2}) + 3 (- 212 x) + 3 (- 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.8

Scomponi $3$ da $3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2}) + 3 (- 212 x)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 212 x) + 3 (- 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.9

Scomponi $3$ da $3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 212 x) + 3 (- 3673)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.6

Scomponi $- 1$ da $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4}) - (- 4 x^{3}) - 6 x^{2} - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - (- 4 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3}) - 6 x^{2} - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.8

Scomponi $- 1$ da $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3}) - (6 x^{2}) - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} - 4 x^{3}) - (6 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) - 212 x - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.10

Scomponi $- 1$ da $- 212 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) - (212 x) - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.11

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) - (212 x)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x) - 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.12

Riscrivi $- 3673$ come $- 1 (3673)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x) - 1 \cdot 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.13

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x) - 1 (3673)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.14

Riscrivi $- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673)$ come $- 1 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- 1 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673))}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 212 x + 3673)}{{(x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

Passaggio 4.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [105 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.8

Poiché $105$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $105 x$ rispetto a $x$ è $105 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $105$ per $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105 + 0)$

Passaggio 4.1.2.12

Somma $- 3 x^{2} + 6 x + 105$ e $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105)$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 105)$ .

$(- 3 x^{2} + 6 x + 105) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $- 3 x^{2} + 6 x + 105$ per $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2} + 6 x + 105$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 105}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.1.3

Scomponi $3$ da $105$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.1.4

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.1.5

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (35)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 35 = - 35$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.2.1.2

Riscrivi $2$ come $- 5$ più $7$ .

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 7) x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 7 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 7 x + 35)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{3 (x (- x - 5) - 7 (- x - 5))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.3.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 5$ .

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 7))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.5

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.7

Riscrivi $- (x + 5)$ come $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.9

Scomponi $- 1$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 105 x + 1}$

Passaggio 4.1.3.11

Scomponi $- 1$ da $105 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 105 x) + 1}$

Passaggio 4.1.3.12

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 105 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) + 1}$

Passaggio 4.1.3.13

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) - 1 (- 1)}$

Passaggio 4.1.3.14

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

Passaggio 4.1.3.15

Riscrivi $- (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)$ come $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

Passaggio 4.1.3.16

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 7)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1)}$

Passaggio 4.1.3.17

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ .

$\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 (x + 5) (x - 7) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 7 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 5.3.3

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x + 5) (x - 7) = 0$ vera.

$x = - 5, 7$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 8.85070116, - 0.00952641, 11.86022757$

Passaggio 6.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 8.85070116, x = - 0.00952641, x = 11.86022757$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 7, - 8.85070116$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 7$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 ({(7)}^{4} - 4 {(7)}^{3} + 6 {(7)}^{2} + 212 (7) + 3673)}{{({(7)}^{3} - 3 {(7)}^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{3 (2401 - 4 \cdot 7^{3} + 6 \cdot 7^{2} + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{3 (2401 - 4 \cdot 343 + 6 \cdot 7^{2} + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 4$ per $343$ .

$- \frac{3 (2401 - 1372 + 6 \cdot 7^{2} + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.4

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{3 (2401 - 1372 + 6 \cdot 49 + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $6$ per $49$ .

$- \frac{3 (2401 - 1372 + 294 + 212 (7) + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $212$ per $7$ .

$- \frac{3 (2401 - 1372 + 294 + 1484 + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.7

Sottrai $1372$ da $2401$ .

$- \frac{3 (1029 + 294 + 1484 + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.8

Somma $1029$ e $294$ .

$- \frac{3 (1323 + 1484 + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.9

Somma $1323$ e $1484$ .

$- \frac{3 (2807 + 3673)}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.10

Somma $2807$ e $3673$ .

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(7^{3} - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(343 - 3 \cdot 7^{2} - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(343 - 3 \cdot 49 - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $- 3$ per $49$ .

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(343 - 147 - 105 \cdot 7 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $- 105$ per $7$ .

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(343 - 147 - 735 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.5

Sottrai $147$ da $343$ .

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(196 - 735 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.6

Sottrai $735$ da $196$ .

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(- 539 - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.7

Sottrai $1$ da $- 539$ .

$- \frac{3 \cdot 6480}{{(- 540)}^{2}}$

Passaggio 9.2.8

Eleva $- 540$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{3 \cdot 6480}{291600}$

Passaggio 9.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $3$ per $6480$ .

$- \frac{19440}{291600}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $19440$ e $291600$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $19440$ da $19440$ .

$- \frac{19440 (1)}{291600}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $19440$ da $291600$ .

$- \frac{19440 \cdot 1}{19440 \cdot 15}$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{19440 \cdot 1}{19440 \cdot 15}$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{15}$

Passaggio 10

$x = 7$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 7$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f (7) = \ln (- {(7)}^{3} + 3 {(7)}^{2} + 105 (7) + 1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f (7) = \ln (- 1 \cdot 343 + 3 {(7)}^{2} + 105 (7) + 1)$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $343$ .

$f (7) = \ln (- 343 + 3 {(7)}^{2} + 105 (7) + 1)$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (7) = \ln (- 343 + 3 \cdot 49 + 105 (7) + 1)$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $3$ per $49$ .

$f (7) = \ln (- 343 + 147 + 105 (7) + 1)$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $105$ per $7$ .

$f (7) = \ln (- 343 + 147 + 735 + 1)$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 343$ e $147$ .

$f (7) = \ln (- 196 + 735 + 1)$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 196$ e $735$ .

$f (7) = \ln (539 + 1)$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $539$ e $1$ .

$f (7) = \ln (540)$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $\ln (540)$ .

$y = \ln (540)$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 8.85070116$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{({(- 8.85070116)}^{3} - 3 {(- 8.85070116)}^{2} - 105 \cdot - 8.85070116 - 1)}^{2}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 8.85070116$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 693.31888897 - 3 {(- 8.85070116)}^{2} - 105 \cdot - 8.85070116 - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $- 8.85070116$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 693.31888897 - 3 \cdot 78.3349111 - 105 \cdot - 8.85070116 - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 3$ per $78.3349111$ .

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 693.31888897 - 235.00473332 - 105 \cdot - 8.85070116 - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 105$ per $- 8.85070116$ .

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 693.31888897 - 235.00473332 + 929.32362229 - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $235.00473332$ da $- 693.31888897$ .

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(- 928.32362229 + 929.32362229 - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 928.32362229$ e $929.32362229$ .

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(0.99999999 - 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3

Sottrai $1$ da $0.99999999$ .

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{{(0)}^{2}}$

Passaggio 13.2.4

Eleva $0$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{0}$

Passaggio 13.2.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{3 ({(- 8.85070116)}^{4} - 4 {(- 8.85070116)}^{3} + 6 {(- 8.85070116)}^{2} + 212 (- 8.85070116) + 3673)}{0}$

Passaggio 13.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 8.85070116) \cup (- 8.85070116, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 11$ , dell'intervallo $(- \infty, - 8.85070116)$ nella derivata prima $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 11$ nell'espressione.

$f' (- 11) = \frac{3 ((- 11) + 5) ((- 11) - 7)}{{(- 11)}^{3} - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Somma $- 11$ e $5$ .

$f' (- 11) = \frac{3 \cdot (- 6 (- 11 - 7))}{{(- 11)}^{3} - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

Passaggio 14.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$f' (- 11) = \frac{- 18 (- 11 - 7)}{{(- 11)}^{3} - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

Passaggio 14.2.2.1.3

Sottrai $7$ da $- 11$ .

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{{(- 11)}^{3} - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

Passaggio 14.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Eleva $- 11$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1331 - 3 {(- 11)}^{2} - 105 \cdot - 11 - 1}$

Passaggio 14.2.2.2.2

Eleva $- 11$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1331 - 3 \cdot 121 - 105 \cdot - 11 - 1}$

Passaggio 14.2.2.2.3

Moltiplica $- 3$ per $121$ .

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1331 - 363 - 105 \cdot - 11 - 1}$

Passaggio 14.2.2.2.4

Moltiplica $- 105$ per $- 11$ .

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1331 - 363 + 1155 - 1}$

Passaggio 14.2.2.2.5

Sottrai $363$ da $- 1331$ .

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 1694 + 1155 - 1}$

Passaggio 14.2.2.2.6

Somma $- 1694$ e $1155$ .

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 539 - 1}$

Passaggio 14.2.2.2.7

Sottrai $1$ da $- 539$ .

$f' (- 11) = \frac{- 18 \cdot - 18}{- 540}$

Passaggio 14.2.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.3.1

Moltiplica $- 18$ per $- 18$ .

$f' (- 11) = \frac{324}{- 540}$

Passaggio 14.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $324$ e $- 540$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.3.2.1

Scomponi $108$ da $324$ .

$f' (- 11) = \frac{108 (3)}{- 540}$

Passaggio 14.2.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.3.2.2.1

Scomponi $108$ da $- 540$ .

$f' (- 11) = \frac{108 \cdot 3}{108 \cdot - 5}$

Passaggio 14.2.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 11) = \frac{108 \cdot 3}{108 \cdot - 5}$

Passaggio 14.2.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 11) = \frac{3}{- 5}$

Passaggio 14.2.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 11) = - \frac{3}{5}$

Passaggio 14.2.2.4

La risposta finale è $- \frac{3}{5}$ .

$- \frac{3}{5}$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- 8.85070116, 7)$ nella derivata prima $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = \frac{3 ((- 4) + 5) ((- 4) - 7)}{{(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.1

Somma $- 4$ e $5$ .

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot (1 (- 4 - 7))}{{(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

Passaggio 14.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (- 4) = \frac{3 (- 4 - 7)}{{(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

Passaggio 14.3.2.1.3

Sottrai $7$ da $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{{(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

Passaggio 14.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 64 - 3 {(- 4)}^{2} - 105 \cdot - 4 - 1}$

Passaggio 14.3.2.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 64 - 3 \cdot 16 - 105 \cdot - 4 - 1}$

Passaggio 14.3.2.2.3

Moltiplica $- 3$ per $16$ .

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 64 - 48 - 105 \cdot - 4 - 1}$

Passaggio 14.3.2.2.4

Moltiplica $- 105$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 64 - 48 + 420 - 1}$

Passaggio 14.3.2.2.5

Sottrai $48$ da $- 64$ .

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{- 112 + 420 - 1}$

Passaggio 14.3.2.2.6

Somma $- 112$ e $420$ .

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{308 - 1}$

Passaggio 14.3.2.2.7

Sottrai $1$ da $308$ .

$f' (- 4) = \frac{3 \cdot - 11}{307}$

Passaggio 14.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.3.1

Moltiplica $3$ per $- 11$ .

$f' (- 4) = \frac{- 33}{307}$

Passaggio 14.3.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 4) = - \frac{33}{307}$

Passaggio 14.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{33}{307}$ .

$- \frac{33}{307}$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $9$ , dell'intervallo $(7, \infty)$ nella derivata prima $\frac{3 (x + 5) (x - 7)}{x^{3} - 3 x^{2} - 105 x - 1}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f' (9) = \frac{3 ((9) + 5) ((9) - 7)}{{(9)}^{3} - 3 {(9)}^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.1

Somma $9$ e $5$ .

$f' (9) = \frac{3 \cdot (14 (9 - 7))}{9^{3} - 3 \cdot 9^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

Passaggio 14.4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $14$ .

$f' (9) = \frac{42 (9 - 7)}{9^{3} - 3 \cdot 9^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

Passaggio 14.4.2.1.3

Sottrai $7$ da $9$ .

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{9^{3} - 3 \cdot 9^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

Passaggio 14.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.2.1

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{729 - 3 \cdot 9^{2} - 105 \cdot 9 - 1}$

Passaggio 14.4.2.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{729 - 3 \cdot 81 - 105 \cdot 9 - 1}$

Passaggio 14.4.2.2.3

Moltiplica $- 3$ per $81$ .

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{729 - 243 - 105 \cdot 9 - 1}$

Passaggio 14.4.2.2.4

Moltiplica $- 105$ per $9$ .

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{729 - 243 - 945 - 1}$

Passaggio 14.4.2.2.5

Sottrai $243$ da $729$ .

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{486 - 945 - 1}$

Passaggio 14.4.2.2.6

Sottrai $945$ da $486$ .

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{- 459 - 1}$

Passaggio 14.4.2.2.7

Sottrai $1$ da $- 459$ .

$f' (9) = \frac{42 \cdot 2}{- 460}$

Passaggio 14.4.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.3.1

Moltiplica $42$ per $2$ .

$f' (9) = \frac{84}{- 460}$

Passaggio 14.4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $84$ e $- 460$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $84$ .

$f' (9) = \frac{4 (21)}{- 460}$

Passaggio 14.4.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 460$ .

$f' (9) = \frac{4 \cdot 21}{4 \cdot - 115}$

Passaggio 14.4.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (9) = \frac{4 \cdot 21}{4 \cdot - 115}$

Passaggio 14.4.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (9) = \frac{21}{- 115}$

Passaggio 14.4.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (9) = - \frac{21}{115}$

Passaggio 14.4.2.4

La risposta finale è $- \frac{21}{115}$ .

$- \frac{21}{115}$

Passaggio 14.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = - 8.85070116$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 14.6

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 105 x + 1)$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 15