Calcolo Esempi

$f (x) = arcsec (x) - 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $arcsec (x) - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $arcsec (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 1}$ come ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.13.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.15

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.16

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.17

$2$ e $\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.18

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.19

Sposta ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.20

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.21

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.22

$x$ e $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.23

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.24

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.25

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.26

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.27

Moltiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.28

Per scrivere ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.29

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.30

Moltiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.30.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.30.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.30.3

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.30.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.31

Semplifica ${(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.32

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.33

$\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$f'' (x) = - \frac{(2 x^{2} - 1) {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.2.34

Sposta ${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la regola del prodotto a $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})} + 0$

Passaggio 2.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x^{2} - 1))} + 0$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} - 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Sposta $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $x^{2} - 1$ per ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.2.1

Eleva $x^{2} - 1$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.3.5

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.4

Somma $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori in $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2 = 0$

Passaggio 4

Semplifica $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1^{2}}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.2

Sposta $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.3

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.4

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.7

Riscrivi ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ come $(x + 1) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ come ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.3.7.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Riscrivi.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.2

Sposta $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.3

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)})} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.4

Eleva $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ({\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1})} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.7

Riscrivi ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ come $(x + 1) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ come ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x {((x + 1) (x - 1))}^{1}} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.7.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x ((x + 1) (x - 1))} - 2 = 0$

Passaggio 4.1.4.8

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

$- 2$ e $\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot 1) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} + (- 2 x^{2} - 2 x) (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.4

Espandi $(- 2 x^{2} - 2 x) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} (x - 1) - 2 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x (x - 1)}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.5.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 0 + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 4.4.5.3

Somma $- 2 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} - 2 x^{3} + 2 x}{x (x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 5

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx 1.09868411$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = 1.09868411$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 {(1.09868411)}^{2} - 1}{{(1.09868411)}^{2} {({(1.09868411)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Eleva $1.09868411$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1.20710678 - 1}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $2$ per $1.20710678$ .

$- \frac{2.41421356 - 1}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.1.3

Sottrai $1$ da $2.41421356$ .

$- \frac{1.41421356}{{1.09868411}^{2} {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Eleva $1.09868411$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 {({1.09868411}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.2

Eleva $1.09868411$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 {(1.20710678 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.3

Sottrai $1$ da $1.20710678$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.20710678}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.4

Riscrivi $0.20710678$ come ${0.45508986}^{2}$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {({0.45508986}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.5

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 7.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 7.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot {0.45508986}^{3}}$

Passaggio 7.2.7

Eleva $0.45508986$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{1.41421356}{1.20710678 \cdot 0.09425219}$

Passaggio 7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $1.20710678$ per $0.09425219$ .

$- \frac{1.41421356}{0.11377246}$

Passaggio 7.3.2

Dividi $1.41421356$ per $0.11377246$ .

$- 1 \cdot 12.43019179$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $12.43019179$ .

$- 12.43019179$

Passaggio 8

$x = 1.09868411$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1.09868411$ è un massimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = 1.09868411$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.09868411$ nell'espressione.

$f (1.09868411) = arcsec (1.09868411) - 2 \cdot 1.09868411$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Calcola $arcsec (1.09868411)$ .

$f (1.09868411) = 0.42707858 - 2 \cdot 1.09868411$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1.09868411$ .

$f (1.09868411) = 0.42707858 - 2.19736822$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $2.19736822$ da $0.42707858$ .

$f (1.09868411) = - 1.77028964$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $- 1.77028964$ .

$y = - 1.77028964$

Passaggio 10

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = arcsec (x) - 2 x$ .

$(1.09868411, - 1.77028964)$ è un massimo locale

Passaggio 11