Calcolo Esempi

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x - 3 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $a$ per $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.3.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.3.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a - 3 - 3 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Passaggio 2.1.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

Passaggio 2.2.3

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

Passaggio 2.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

Passaggio 2.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $\frac{3}{x}$ da $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x - 3 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $a$ per $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $a - 3 - 3 \ln (x)$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\ln (x)$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

Passaggio 5.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \ln (x) = - a + 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \ln (x) = - a + 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Dividi $3$ per $- 3$ .

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

Passaggio 5.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

Passaggio 5.6

Riscrivi l'equazione come $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ .

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 6.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

Passaggio 9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Passaggio 9.2

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 9.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11