Calcolo Esempi

$f (x) = \arctan (x^{6})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{6 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} (6 x^{5})$

Passaggio 1.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

$6$ e $\frac{1}{1 + x^{12}}$ .

$\frac{6}{1 + x^{12}} x^{5}$

Passaggio 1.2.3.2

$\frac{6}{1 + x^{12}}$ e $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{1 + x^{12}}$

Passaggio 1.2.3.3

Riordina i termini.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{12} + 1}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{12} + 1})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot ((x^{12} + 1) x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{12} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} (x^{12}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 12$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + 0)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $12 x^{11}$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{5} x^{11}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{11}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $x^{11}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 (x^{11} x^{5})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{11 + 5}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.3

Somma $11$ e $5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.5

$6$ e $\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 ((5 x^{12} + 5 \cdot 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4} + 5 \cdot (1 x^{4}) - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1

Moltiplica $x^{12}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1.1

Sposta $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{4} x^{12})) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{4 + 12}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.1.3

Somma $4$ e $12$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{16}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.2

Moltiplica $5$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 x^{4}) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.4

Moltiplica $5$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5

Moltiplica $- 12$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} - 72 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.2

Sottrai $72 x^{16}$ da $30 x^{16}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{16} + 30 x^{4}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 x^{5} = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x^{5} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x^{5} = 0$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$x^{5} = 0$

Passaggio 5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[5]{0}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\sqrt[5]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Passaggio 5.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{- 42 {(0)}^{16} + 30 {(0)}^{4}}{{({(0)}^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{- 42 \cdot 0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 42$ per $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $30$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.5

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{1}$

Passaggio 7.3

Dividi $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 8

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 8.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{6 {(- 2)}^{5}}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $12$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4096 + 1}$

Passaggio 8.2.2.2.2

Somma $4096$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4097}$

Passaggio 8.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

Moltiplica $6$ per $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 192}{4097}$

Passaggio 8.2.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{192}{4097}$

Passaggio 8.2.2.4

La risposta finale è $- \frac{192}{4097}$ .

$- \frac{192}{4097}$

Passaggio 8.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{6 {(2)}^{5}}{{(2)}^{12} + 1}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{2^{12} + 1}$

Passaggio 8.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $12$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4096 + 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Somma $4096$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4097}$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $6$ per $32$ .

$f' (2) = \frac{192}{4097}$

Passaggio 8.3.2.4

La risposta finale è $\frac{192}{4097}$ .

$\frac{192}{4097}$

Passaggio 8.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 9