Calcolo Esempi

$f (x) = \arctan (x^{5})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

Passaggio 1.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

$5$ e $\frac{1}{1 + x^{10}}$ .

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

Passaggio 1.2.3.2

$\frac{5}{1 + x^{10}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

Passaggio 1.2.3.3

Riordina i termini.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{10} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $10 x^{9}$ e $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{9}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $x^{9}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.3

Somma $9$ e $4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.5

$5$ e $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1

Moltiplica $x^{10}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.1.3

Somma $3$ e $10$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5

Moltiplica $- 10$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.2

Sottrai $50 x^{13}$ da $20 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.5

Scomponi $10 x^{3}$ da $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Scomponi $10 x^{3}$ da $- 30 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.5.2

Scomponi $10 x^{3}$ da $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.5.3

Scomponi $10 x^{3}$ da $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{10}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.7

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.9

Riscrivi $- (3 x^{10} - 2)$ come $- 1 (3 x^{10} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.11

Riordina i fattori in $- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 x^{4} = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{4} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x^{4} = 0$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{5}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi $0$ per $5$ .

$x^{4} = 0$

Passaggio 5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 5.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.3

Sottrai $2$ da $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 2$ per $10$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

Passaggio 7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 20$ per $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Passaggio 7.3.2

Dividi $0$ per $1$ .

$- 0$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 8

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 8.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $10$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Passaggio 8.2.2.2.2

Somma $1024$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Passaggio 8.2.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.1

Moltiplica $5$ per $16$ .

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

Passaggio 8.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $80$ e $1025$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $80$ .

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Passaggio 8.2.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $1025$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Passaggio 8.2.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Passaggio 8.2.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

Passaggio 8.2.2.4

La risposta finale è $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Passaggio 8.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

Passaggio 8.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $10$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Somma $1024$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Passaggio 8.3.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.1

Moltiplica $5$ per $16$ .

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

Passaggio 8.3.2.3.2

Elimina il fattore comune di $80$ e $1025$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $80$ .

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Passaggio 8.3.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $1025$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Passaggio 8.3.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Passaggio 8.3.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

Passaggio 8.3.2.4

La risposta finale è $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Passaggio 8.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 8.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = \arctan (x^{5})$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 9