Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \sin (x) + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \cos (x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5

Frazioni separate.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune.

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 8.2

Dividi $2$ per $1$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 9

Frazioni separate.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 11

Dividi $0$ per $1$ .

$- \tan (x) + 2 = 0 \sec (x)$

Passaggio 12

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = 0$

Passaggio 13

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 2$

Passaggio 14

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 14.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 2$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 14.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 14.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 14.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 2$

Passaggio 15

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (2)$

Passaggio 16

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 16.1

Calcola $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Passaggio 17

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Passaggio 18

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 18.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Passaggio 18.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Passaggio 18.3

Somma $3.14159265$ e $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Passaggio 19

La soluzione dell'equazione $x = 1.10714871$ .

$x = 1.10714871, 4.24874137$

Passaggio 20

Calcola la derivata seconda per $x = 1.10714871$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \cos (1.10714871) - 2 \sin (1.10714871)$

Passaggio 21

$x = 1.10714871$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1.10714871$ è un massimo locale

Passaggio 22

Trova il valore di y quando $x = 1.10714871$ .

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Passaggio 22.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.10714871$ nell'espressione.

$f (1.10714871) = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

Passaggio 22.2

La risposta finale è $\cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$ .

$y = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

Passaggio 23

Calcola la derivata seconda per $x = 4.24874137$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \cos (4.24874137) - 2 \sin (4.24874137)$

Passaggio 24

$x = 4.24874137$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4.24874137$ è un minimo locale

Passaggio 25

Trova il valore di y quando $x = 4.24874137$ .

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Passaggio 25.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.24874137$ nell'espressione.

$f (4.24874137) = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

Passaggio 25.2

La risposta finale è $\cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$ .

$y = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

Passaggio 26

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$ .

$(1.10714871, \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871))$ è un massimo locale

$(4.24874137, \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137))$ è un minimo locale

Passaggio 27