Calcolo Esempi

$f (x) = 9 x + \sin (9 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x + \sin (9 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x$ .

$9 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 1.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$9 + \cos (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x$ .

$9 + \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 + \cos (9 x) \cdot 9$

Passaggio 1.3.5

Sposta $9$ alla sinistra di $\cos (9 x)$ .

$9 + 9 \cos (9 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + 9 \cos (9 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 \cos (9 x)$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 \frac{d}{d x} (\cos (9 x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (9 x))$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (9 x))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} (9 x))$

Passaggio 2.2.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \cdot 1))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \cdot 9)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- 9 \sin (9 x))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 9$ per $9$ .

$f'' (x) = 0 - 81 \sin (9 x)$

Passaggio 2.3

Sottrai $81 \sin (9 x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 81 \sin (9 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$9 + 9 \cos (9 x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 \cos (9 x) = - 9$

Passaggio 5

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \cos (9 x) = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \cos (9 x) = - 9$ .

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\cos (9 x)$ per $1$ .

$\cos (9 x) = \frac{- 9}{9}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi $- 9$ per $9$ .

$\cos (9 x) = - 1$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$9 x = \arccos (- 1)$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$9 x = π$

Passaggio 8

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = π$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Passaggio 9

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$9 x = 2 π - π$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$9 x = π$

Passaggio 10.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = π$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $9 x = π$ .

$x = \frac{π}{9}, \frac{π}{9}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{9}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 81 \sin (9 (\frac{π}{9}))$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 81 \sin (9 \frac{π}{9})$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 81 \sin (π)$

Passaggio 13.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 81 \sin (0)$

Passaggio 13.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 81 \cdot 0$

Passaggio 13.4

Moltiplica $- 81$ per $0$ .

$0$

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{π}{9}) \cup (\frac{π}{9}, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{9})$ nella derivata prima $9 + 9 \cos (9 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 9 + 9 \cos (9 (0))$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cos (0)$

Passaggio 14.2.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cdot 1$

Passaggio 14.2.2.1.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (0) = 9 + 9$

Passaggio 14.2.2.2

Somma $9$ e $9$ .

$f' (0) = 18$

Passaggio 14.2.2.3

La risposta finale è $18$ .

$18$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{π}{9}, \infty)$ nella derivata prima $9 + 9 \cos (9 x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 9 + 9 \cos (9 (3))$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cos (27)$

Passaggio 14.3.2.1.2

Calcola $\cos (27)$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cdot - 0.2921388$

Passaggio 14.3.2.1.3

Moltiplica $9$ per $- 0.2921388$ .

$f' (3) = 9 - 2.62924927$

Passaggio 14.3.2.2

Sottrai $2.62924927$ da $9$ .

$f' (3) = 6.37075072$

Passaggio 14.3.2.3

La risposta finale è $6.37075072$ .

$6.37075072$

Passaggio 14.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = \frac{π}{9}$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 14.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = 9 x + \sin (9 x)$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 15