Calcolo Esempi

$f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{\frac{7}{5}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $5$ da $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2.7

$\frac{7}{5}$ e $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2.8

$9$ e $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $7$ per $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 1.4

Poiché $10000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ e $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{63}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{63}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 2.3.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})$

Passaggio 2.3.8

$\frac{2}{5}$ e $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $\frac{63}{5}$ per $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5 \cdot 5}$

Passaggio 2.3.10

Moltiplica $2$ per $63$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{5 \cdot 5}$

Passaggio 2.3.11

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{25}$

Passaggio 2.3.12

Sposta $x^{- \frac{3}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126}{25 x^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Passaggio 4.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{\frac{7}{5}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sottrai $5$ da $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2.7

$\frac{7}{5}$ e $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2.8

$9$ e $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $7$ per $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $10000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Somma $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ e $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Passaggio 4.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Passaggio 5.2

Trova un fattore comune $x^{\frac{2}{5}}$ che è presente in ciascun termine.

$- 10 {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $u$ a $x^{\frac{2}{5}}$ .

$- 10 {(u)}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 (u)}{5} = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $u$ da $- 10 u^{\frac{5}{2}} + \frac{63 u}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $u$ da $- 10 u^{\frac{5}{2}}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + \frac{63 u}{5} = 0$

Passaggio 5.4.1.2

Scomponi $u$ da $\frac{63 u}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u (\frac{63}{5}) = 0$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $u$ da $u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u \frac{63}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$

Passaggio 5.4.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u = 0$

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Passaggio 5.4.3

Imposta $u$ uguale a $0$ .

$u = 0$

Passaggio 5.4.4

Imposta $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Imposta $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ uguale a $0$ .

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Passaggio 5.4.4.2

Risolvi $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Sottrai $\frac{63}{5}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 10 u^{\frac{3}{2}} = - \frac{63}{5}$

Passaggio 5.4.4.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{2}{3}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1

Semplifica ${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 10 u^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} {(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{1} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.3

Semplifica.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.1.1.4

Riordina i fattori in ${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1

Semplifica ${(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.2.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{2} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.4.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = 1 \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.3.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.4

Dividi per ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.4.1

Dividi per ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.4.2.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.4.3.2

Combina.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}} \cdot 1}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.2.4.3.3

Moltiplica $63^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$ vera.

$u = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.5

Sostituisci $x$ a $u$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.6

Risolvi per $x^{\frac{2}{5}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{5}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.6.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.6.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.6.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.6.2.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.6.2.1.1.2

Semplifica.

$x = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Semplifica $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.6.2.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Passaggio 5.6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Passaggio 5.6.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm 0^{5}$

Passaggio 5.6.2.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = \pm 0$

Passaggio 5.6.2.2.1.4

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.7

Risolvi per $x^{\frac{2}{5}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{5}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.7.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.7.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.7.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.7.2.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.7.2.1.1.2

Semplifica.

$x = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 5.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Semplifica $\pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{63^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.2.3

$\frac{1}{3}$ e $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 5} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3.1.3

$\frac{1}{3}$ e $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 5}}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3.2.3

$\frac{1}{3}$ e $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.7.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.7.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0, \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.9

Escludi le soluzioni che non rendono $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 10 + \frac{126}{25 {(0)}^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}}$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{3}}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $25$ per $0$ .

$- 10 + \frac{126}{0}$

Passaggio 9.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- 10 + \frac{126}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}) \cup (- \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 10 \cdot - 2 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $- 10$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Passaggio 10.2.2.2

La risposta finale è $20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Passaggio 10.3

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11