Calcolo Esempi

$f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x + 8 \cos (8 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \cos (8 x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$8 + 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \cdot 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \cdot 8)$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$8 + 8 (- 8 \sin (8 x))$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 8$ per $8$ .

$8 - 64 \sin (8 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - 64 \sin (8 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 64 \sin (8 x)$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 \frac{d}{d x} \sin (8 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (8 x))$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (u) \frac{d}{d x} (8 x))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \frac{d}{d x} (8 x))$

Passaggio 2.2.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \cdot 8)$

Passaggio 2.2.6

Sposta $8$ alla sinistra di $\cos (8 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (8 \cdot \cos (8 x))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $8$ per $- 64$ .

$f'' (x) = 0 - 512 \cos (8 x)$

Passaggio 2.3

Sottrai $512 \cos (8 x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 512 \cos (8 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$8 - 64 \sin (8 x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 64 \sin (8 x) = - 8$

Passaggio 5

Dividi per $- 64$ ciascun termine in $- 64 \sin (8 x) = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $- 64$ ciascun termine in $- 64 \sin (8 x) = - 8$ .

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\sin (8 x)$ per $1$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8}{- 64}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $- 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $- 8$ da $- 8$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 (1)}{- 64}$

Passaggio 5.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Scomponi $- 8$ da $- 64$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (8 x) = \frac{1}{8}$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$8 x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$8 x = 0.12532783$

Passaggio 8

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 0.12532783$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 0.12532783$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0.12532783}{8}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi $0.12532783$ per $8$ .

$x = 0.01566597$

Passaggio 9

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$8 x = (3.14159265) - 0.12532783$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sottrai $0.12532783$ da $3.14159265$ .

$8 x = 3.01626482$

Passaggio 10.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 3.01626482$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 3.01626482$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3.01626482}{8}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Dividi $3.01626482$ per $8$ .

$x = 0.3770331$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $8 x = 0.12532783$ .

$x = 0.01566597, 0.3770331$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0.01566597$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 512 \cos (8 (0.01566597))$

Passaggio 13

Moltiplica $8$ per $0.01566597$ .

$- 512 \cos (0.12532783)$

Passaggio 14

$x = 0.01566597$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.01566597$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 0.01566597$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.01566597$ nell'espressione.

$f (0.01566597) = 8 (0.01566597) + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Moltiplica $8$ per $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $8$ per $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (0.12532783)$

Passaggio 15.2.2

Somma $0.12532783$ e $8 \cos (0.12532783)$ .

$f (0.01566597) = 8.06258176$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $8.06258176$ .

$y = 8.06258176$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 0.3770331$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 512 \cos (8 (0.3770331))$

Passaggio 17

Moltiplica $8$ per $0.3770331$ .

$- 512 \cos (3.01626482)$

Passaggio 18

$x = 0.3770331$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0.3770331$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 0.3770331$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.3770331$ nell'espressione.

$f (0.3770331) = 8 (0.3770331) + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Moltiplica $8$ per $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $8$ per $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (3.01626482)$

Passaggio 19.2.2

Somma $3.01626482$ e $8 \cos (3.01626482)$ .

$f (0.3770331) = - 4.92098911$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $- 4.92098911$ .

$y = - 4.92098911$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$ .

$(0.01566597, 8.06258176)$ è un massimo locale

$(0.3770331, - 4.92098911)$ è un minimo locale

Passaggio 21