Calcolo Esempi

$f (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$2 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Passaggio 2

$2$ e $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5.5

Moltiplica.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 8

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{2 \cos (x)}{1 - \sin (x)}$ per $\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{(1 - \sin (x)) {(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 12

Moltiplica $1 - \sin (x)$ per ${(1 - \sin (x))}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $1 - \sin (x)$ per ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

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Passaggio 12.1.1

Eleva $1 - \sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1} {(1 - \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 12.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{1 + 2}}$

Passaggio 12.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 \cos (x) ((1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cos (x) (1 (- \sin (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.3.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $1 (- \sin (x))$ .

$\frac{1 (- \sin (x)) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.2

Sposta le parentesi.

$\frac{1 (- \sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.3

Aggiungi le parentesi.

$\frac{1 (- (\sin (x) (2 \cos (x)))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.4

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{1 (- (2 \cdot \sin (x) \cos (x))) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.5

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{1 (- \sin (2 x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.6

Moltiplica $- \sin (2 x)$ per $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x) (- \sin (x))) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.7

Sposta le parentesi.

$\frac{- \sin (2 x) + 2 \cos (x) (- \sin (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.8

Riordina $2 \cos (x)$ e $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (x) (2 \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.9

Aggiungi le parentesi.

$\frac{- \sin (2 x) - (\sin (x) (2 \cos (x))) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.10

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{- \sin (2 x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.11

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{- \sin (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.12

Moltiplica $- \sin (2 x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 13.3.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + 1 \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.12.2

Moltiplica $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.13

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.3.13.1

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.13.2

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

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Passaggio 13.3.13.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.13.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 {\cos (x)}^{2 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.3.13.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- \sin (2 x) + \sin (2 x) \sin (x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 13.4

Riordina i termini.

$\frac{\sin (x) \sin (2 x) - \sin (2 x) + 2 \cos^{3} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{3}}$