Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 9}$ come ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.3

Sposta ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.11

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.12.2

$2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.12.3

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.16

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.16.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.16.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.18

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.19

Per scrivere ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.21

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.21.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.21.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.21.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.21.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{1}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.22

Semplifica ${(x^{2} - 9)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.23

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{2} - 9$ e $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.4.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.4.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.10.3

Sposta ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.13

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.14.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{2}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.14.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.14.4

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.14.5

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) \frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) + 9) (\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 9) (\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 9) (\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.2

Moltiplica $- 2 x^{2} + 9$ per $\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.3

Per scrivere $4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5

Riscrivi $\frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.5.1

Scomponi $x$ da $4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 9) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.5.1.1

Scomponi $x$ da $4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.1.2

Scomponi $x$ da $(- 2 x^{2} + 9) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.1.3

Scomponi $x$ da $x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.2

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.5.2.1

Sposta ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 ({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} - 9) - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.3

Semplifica $4 {(x^{2} - 9)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} - 9) - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot - 9 - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.5

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} - 36 - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 36 + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.2.5.7

Somma $- 36$ e $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1

Riscrivi $\frac{\frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2.15.3.2

Moltiplica $\frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} - 9}$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 9)}$

Passaggio 2.15.3.3

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} - 9$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.3.1

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.3.1.1

Eleva $x^{2} - 9$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 9)}$

Passaggio 2.15.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.15.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.15.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.15.3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 9}$ come ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 9$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8.3

Sposta ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.11

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.12.2

$2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.12.3

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.16

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.16.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.16.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.18

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.19

Per scrivere ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.21

Moltiplica ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.21.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.21.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.21.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.21.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{1}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.22

Semplifica ${(x^{2} - 9)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.23

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = 9$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 9$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 5.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{9}{2}}$ come $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.3

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 5.3.4.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2 x^{2} - 9}{\sqrt{{(x^{2} - 9)}^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{2 x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{2 x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} - 9}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x^{2} - 9}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 9}$ come ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} - 9)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} - 9 = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 9$

Passaggio 6.3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 6.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 6.3.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 6.3.3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 6.3.3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 9}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 9 < 0$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Aggiungi $9$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} < 9$

Passaggio 6.5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{9}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | < \sqrt{9}$

Passaggio 6.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Semplifica $\sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| x | < \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 6.5.3.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | < | 3 |$

Passaggio 6.5.3.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$| x | < 3$

Passaggio 6.5.4

Scrivi $| x | < 3$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 6.5.4.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x < 3$

Passaggio 6.5.4.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 6.5.4.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x < 3$

Passaggio 6.5.4.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x < 3 & x \geq 0 \\ - x < 3 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 6.5.5

Trova l'intersezione di $x < 3$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 3$

Passaggio 6.5.6

Risolvi $- x < 3$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < 3$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{3}{- 1}$

Passaggio 6.5.6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{3}{- 1}$

Passaggio 6.5.6.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{3}{- 1}$

Passaggio 6.5.6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1.3.1

Dividi $3$ per $- 1$ .

$x > - 3$

Passaggio 6.5.6.2

Trova l'intersezione di $x > - 3$ e $x < 0$ .

$- 3 < x < 0$

Passaggio 6.5.7

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 3 < x < 3$

Passaggio 6.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$- 3 \leq x \leq 3$

$[- 3, 3]$

$- 3 \leq x \leq 3$

$[- 3, 3]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 3, 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{{(9 - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0^{3}}$

Passaggio 9.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11