Calcolo Esempi

$f (x) = x + | 2 x |$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + | 2 x |$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$1 + \frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \cdot 2$

Passaggio 1.2.5

$\frac{2 x}{| 2 x |}$ e $2$ .

$1 + \frac{2 x \cdot 2}{| 2 x |}$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 + \frac{4 x}{| 2 x |}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riordina i termini.

$\frac{4 x}{| 2 x |} + 1$

Passaggio 1.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{4 x}{2 | x |} + 1$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Passaggio 1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 | x |$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (| x |)} + 1$

Passaggio 1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Passaggio 1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x}{| x |} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 x}{| x |} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{| x |}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{| x |}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{| x |}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{| x |}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{| x |}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{| x |}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.4

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $| x |$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.6

$\frac{x}{| x |}$ e $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.10

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.11

$2$ e $\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 | x | + 2 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 | x | - 2 \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

$- 2$ e $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{2 | x | + \frac{- 2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2.4

Somma $\frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Scomponi $2$ da $- \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1.1

Scomponi $2$ da $- \frac{2 x^{2}}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 | x |}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 | x |$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 (| x |)}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 (| x |)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |)}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.2

Per scrivere $| x |$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.4.1

Moltiplica $| x | | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.4.1.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.4.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.4.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.4.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.4.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.4.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.4.3

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{0}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.5

Dividi $0$ per $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 0}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 0}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.7

Dividi $0$ per $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + | 2 x |$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$1 + \frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \cdot 2$

Passaggio 4.1.2.5

$\frac{2 x}{| 2 x |}$ e $2$ .

$1 + \frac{2 x \cdot 2}{| 2 x |}$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 + \frac{4 x}{| 2 x |}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Riordina i termini.

$\frac{4 x}{| 2 x |} + 1$

Passaggio 4.1.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{4 x}{2 | x |} + 1$

Passaggio 4.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Passaggio 4.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 | x |$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (| x |)} + 1$

Passaggio 4.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Passaggio 4.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2 x}{| x |} + 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x}{| x |} + 1$ .

$\frac{2 x}{| x |} + 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2 x}{| x |} = - 1$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$| x |, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$| x |$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $| x |$ ciascun termine in $\frac{2 x}{| x |} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 x}{| x |} = - 1$ per $| x |$ .

$\frac{2 x}{| x |} | x | = - | x |$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{| x |} | x | = - | x |$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x = - | x |$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $- | x | = 2 x$ .

$- | x | = 2 x$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- | x | = 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- | x | = 2 x$ .

$\frac{- | x |}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{| x |}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $| x |$ per $1$ .

$| x | = \frac{2 x}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 x}{- 1}$ .

$| x | = - 1 \cdot (2 x)$

Passaggio 5.5.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot (2 x)$ come $- (2 x)$ .

$| x | = - (2 x)$

Passaggio 5.5.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$| x | = - 2 x$

Passaggio 5.6

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- 2 x)$

Passaggio 5.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = - 2 x$

Passaggio 5.7.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + 2 x = 0$

Passaggio 5.7.2.2

Somma $x$ e $2 x$ .

$3 x = 0$

Passaggio 5.7.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.7.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.7.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x = 0$

Passaggio 5.7.4

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = 2 x$

Passaggio 5.7.5

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - 2 x = 0$

Passaggio 5.7.5.2

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$- x = 0$

Passaggio 5.7.6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.7.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.7.6.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.7.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.6.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x = 0$

Passaggio 5.8

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x}{| x |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x | = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$0$

Passaggio 9

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 9.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{2 x}{| x |} + 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2)}{| - 2 |} + 1$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{| - 2 |} + 1$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{2} + 1$

Passaggio 9.2.2.2.2

Dividi $- 4$ per $2$ .

$f' (- 2) = - 2 + 1$

Passaggio 9.2.2.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$f' (- 2) = - 1$

Passaggio 9.2.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 9.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $\frac{2 x}{| x |} + 1$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{2 (2)}{| 2 |} + 1$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{| 2 |} + 1$

Passaggio 9.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{2} + 1$

Passaggio 9.3.2.2.2

Dividi $4$ per $2$ .

$f' (2) = 2 + 1$

Passaggio 9.3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f' (2) = 3$

Passaggio 9.3.2.4

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 9.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 10