Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x) - x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\cos (x) - 1$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 1 + \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Passaggio 2.3

Sottrai $\sin (x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 1 + \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 1$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 8

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 9

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin (0)$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 0$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 12

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Passaggio 12.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 1 + \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 1 + \cos (- 2)$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Calcola $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1 - 0.41614683$

Passaggio 12.2.2.2

Sottrai $0.41614683$ da $- 1$ .

$f' (- 2) = - 1.41614683$

Passaggio 12.2.2.3

La risposta finale è $- 1.41614683$ .

$- 1.41614683$

Passaggio 12.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(0, 2 π)$ nella derivata prima $- 1 + \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - 1 + \cos (3)$

Passaggio 12.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Calcola $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 1 - 0.98999249$

Passaggio 12.3.2.2

Sottrai $0.98999249$ da $- 1$ .

$f' (3) = - 1.98999249$

Passaggio 12.3.2.3

La risposta finale è $- 1.98999249$ .

$- 1.98999249$

Passaggio 12.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $9$ , dell'intervallo $(2 π, \infty)$ nella derivata prima $- 1 + \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f' (9) = - 1 + \cos (9)$

Passaggio 12.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

Calcola $\cos (9)$ .

$f' (9) = - 1 - 0.91113026$

Passaggio 12.4.2.2

Sottrai $0.91113026$ da $- 1$ .

$f' (9) = - 1.91113026$

Passaggio 12.4.2.3

La risposta finale è $- 1.91113026$ .

$- 1.91113026$

Passaggio 12.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 12.6

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = \sin (x) - x$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 13