Calcolo Esempi

$f (x) = x (9 - x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Passaggio 1.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Moltiplica $9 - x^{2}$ per $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (9)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Passaggio 4.1.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Moltiplica $9 - x^{2}$ per $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Passaggio 4.1.8.2

Sottrai $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 9$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 9 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} = - 9$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 9$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 9$ per $- 3$ .

$x^{2} = 3$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \sqrt{3}$

Passaggio 9

$x = \sqrt{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{3}$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{3}) = (\sqrt{3}) (9 - {(\sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Passaggio 10.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Passaggio 10.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Passaggio 10.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Passaggio 10.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Passaggio 10.2.1.1.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Passaggio 10.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Sottrai $3$ da $9$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 6$

Passaggio 10.2.2.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 (- \sqrt{3})$

Passaggio 12

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$6 \sqrt{3}$

Passaggio 13

$x = - \sqrt{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{3}$ è un minimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = (- \sqrt{3}) (9 - {(- \sqrt{3})}^{2})$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Passaggio 14.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}))$

Passaggio 14.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2}))$

Passaggio 14.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2})$

Passaggio 14.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2})$

Passaggio 14.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {\sqrt{3}}^{2})$

Passaggio 14.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Passaggio 14.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Passaggio 14.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Passaggio 14.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Passaggio 14.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Passaggio 14.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Passaggio 14.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Passaggio 14.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Sottrai $3$ da $9$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} \cdot 6$

Passaggio 14.2.2.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.3

La risposta finale è $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Passaggio 15

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x (9 - x^{2})$ .

$(\sqrt{3}, 6 \sqrt{3})$ è un massimo locale

$(- \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ è un minimo locale

Passaggio 16