Calcolo Esempi

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.6.2

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.6.3

$\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.4.1

Scomponi $2$ da $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.6.4.2.4

Dividi $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ per $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ per $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ da $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Riordina $x$ e $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Passaggio 1.4.1.2

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ da $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Passaggio 1.4.1.3

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Passaggio 1.4.1.4

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Passaggio 1.4.2.2

$2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Passaggio 1.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Passaggio 1.4.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Passaggio 1.4.2.5

Somma $4 x$ e $x$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ e $g (x) = \frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 4) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 x}{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Passaggio 2.2.2

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Passaggio 2.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Somma $\frac{5}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Passaggio 2.2.6.2

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ e $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Passaggio 2.2.6.3

Sposta $5$ alla sinistra di ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4)$

Passaggio 2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 2.4.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 2.4.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Passaggio 2.4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.4.7.2

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})$

Passaggio 2.4.7.3

${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Passaggio 2.4.7.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Passaggio 2.5

Per scrivere $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.6

$\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.8

$2$ e $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Passaggio 2.10

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Scomponi $2$ da $6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Passaggio 2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Passaggio 2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Passaggio 2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Passaggio 2.10.2.4

Dividi $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ da $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ da $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Passaggio 2.11.1.1.2

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ da $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Passaggio 2.11.1.1.3

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ da ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4) + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Passaggio 2.11.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Passaggio 2.11.1.3

$5$ e $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Passaggio 2.11.1.4

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Passaggio 2.11.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 4)}{2}$

Passaggio 2.11.1.6

Moltiplica $3 \frac{5 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.6.1

$3$ e $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Passaggio 2.11.1.6.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Passaggio 2.11.1.7

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} - 12)}{2}$

Passaggio 2.11.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 20 - 12)}{2}$

Passaggio 2.11.1.9

Sottrai $12$ da $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.10

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.11

$- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.13

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.14

Somma $5 x$ e $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.15

Elimina il fattore comune di $20$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.15.1

Scomponi $2$ da $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.15.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.15.2.4

Dividi $10 x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (10 x - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.16

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 8}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.17

Scomponi $2$ da $10 x - 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.17.1

Scomponi $2$ da $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) - 32)}{2}$

Passaggio 2.11.1.17.2

Scomponi $2$ da $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) + 2 (- 16))}{2}$

Passaggio 2.11.1.17.3

Scomponi $2$ da $2 (5 x) + 2 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x - 16))}{2}$

Passaggio 2.11.1.18

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Passaggio 2.11.1.19

Riduci l'espressione $\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.19.1

Scomponi $2$ da ${(x - 8)}^{2} \cdot 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Passaggio 2.11.1.19.2

Scomponi $2$ da $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Passaggio 2.11.1.19.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Passaggio 2.11.1.19.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Passaggio 2.11.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{(5 x - 16) (\frac{{(x - 8)}^{2}}{2})}{2}$

Passaggio 2.11.3

Scomponi $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ da $\frac{(5 x - 16) \frac{{(x - 8)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$

Passaggio 2.11.4

Moltiplica $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.1

Moltiplica $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ per $\frac{5 x - 16}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.11.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{4}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.6.2

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.6.3

$\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.4.1

Scomponi $2$ da $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.6.4.2.4

Dividi $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ per $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.8

Moltiplica ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ per $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ da $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1.1

Riordina $x$ e $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Passaggio 4.1.4.1.2

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ da $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Passaggio 4.1.4.1.3

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Passaggio 4.1.4.1.4

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Passaggio 4.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Passaggio 4.1.4.2.2

$2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Passaggio 4.1.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Passaggio 4.1.4.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Passaggio 4.1.4.2.5

Somma $4 x$ e $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Passaggio 5.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Passaggio 5.3

Imposta ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Poni $\frac{x}{2} - 4$ uguale a $0$ .

$\frac{x}{2} - 4 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = 4$

Passaggio 5.3.2.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.2.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.2.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = 8$

Passaggio 5.4

Imposta $\frac{5 x}{2} - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $\frac{5 x}{2} - 4$ uguale a $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $\frac{5 x}{2} - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{5 x}{2} = 4$

Passaggio 5.4.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.1

Semplifica $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Passaggio 5.4.2.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Passaggio 5.4.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.1.2.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Passaggio 5.4.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Passaggio 5.4.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{5} \cdot 4$

Passaggio 5.4.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{2}{5} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.2.1.1

$\frac{2}{5}$ e $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{5}$

Passaggio 5.4.2.3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{8}{5}$

Passaggio 5.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ vera.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)}{4}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $5 (8) - 16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Scomponi $4$ da ${((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)$ .

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4}$

Passaggio 9.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 (1)}$

Passaggio 9.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)}{1}$

Passaggio 9.1.1.2.4

Dividi ${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$ per $1$ .

${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Passaggio 9.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$0^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Passaggio 9.1.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 (5 \cdot (2) - 4)$

Passaggio 9.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$0 (10 - 4)$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sottrai $4$ da $10$ .

$0 \cdot 6$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $0$ per $6$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{8}{5}) \cup (\frac{8}{5}, 8) \cup (8, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{8}{5})$ nella derivata prima ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi $0$ per $2$ .

$f' (0) = {(0 - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f' (0) = {(- 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Passaggio 10.2.2.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Passaggio 10.2.2.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{0}{2} - 4)$

Passaggio 10.2.2.5

Dividi $0$ per $2$ .

$f' (0) = - 64 (0 - 4)$

Passaggio 10.2.2.6

Sottrai $4$ da $0$ .

$f' (0) = - 64 \cdot - 4$

Passaggio 10.2.2.7

Moltiplica $- 64$ per $- 4$ .

$f' (0) = 256$

Passaggio 10.2.2.8

La risposta finale è $256$ .

$256$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $5$ , dell'intervallo $(\frac{8}{5}, 8)$ nella derivata prima ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.2

$- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (5) = {(\frac{5 - 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.4.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f' (5) = {(\frac{5 - 8}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.4.2

Sottrai $8$ da $5$ .

$f' (5) = {(\frac{- 3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (5) = {(- \frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (5) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (5) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (5) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.8

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.10

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4)$

Passaggio 10.3.2.11

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 10.3.2.12

$- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})$

Passaggio 10.3.2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 4 \cdot 2}{2}$

Passaggio 10.3.2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.14.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 8}{2}$

Passaggio 10.3.2.14.2

Sottrai $8$ da $25$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$

Passaggio 10.3.2.15

Moltiplica $- \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.15.1

Moltiplica $\frac{17}{2}$ per $\frac{27}{8}$ .

$f' (5) = - \frac{17 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Passaggio 10.3.2.15.2

Moltiplica $17$ per $27$ .

$f' (5) = - \frac{459}{2 \cdot 8}$

Passaggio 10.3.2.15.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f' (5) = - \frac{459}{16}$

Passaggio 10.3.2.16

La risposta finale è $- \frac{459}{16}$ .

$- \frac{459}{16}$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $10$ , dell'intervallo $(8, \infty)$ nella derivata prima ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f' (10) = {(\frac{10}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Dividi $10$ per $2$ .

$f' (10) = {(5 - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Passaggio 10.4.2.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$f' (10) = 1^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Passaggio 10.4.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (10) = 1 (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Passaggio 10.4.2.4

Moltiplica $\frac{5 (10)}{2} - 4$ per $1$ .

$f' (10) = \frac{5 (10)}{2} - 4$

Passaggio 10.4.2.5

Moltiplica $5$ per $10$ .

$f' (10) = \frac{50}{2} - 4$

Passaggio 10.4.2.6

Dividi $50$ per $2$ .

$f' (10) = 25 - 4$

Passaggio 10.4.2.7

Sottrai $4$ da $25$ .

$f' (10) = 21$

Passaggio 10.4.2.8

La risposta finale è $21$ .

$21$

Passaggio 10.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{8}{5}$ , allora $x = \frac{8}{5}$ è un massimo locale.

$x = \frac{8}{5}$ è un massimo locale

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 8$ , allora $x = 8$ è un minimo locale.

$x = 8$ è un minimo locale

Passaggio 10.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x = \frac{8}{5}$ è un massimo locale

$x = 8$ è un minimo locale

$x = \frac{8}{5}$ è un massimo locale

$x = 8$ è un minimo locale

Passaggio 11