Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$3 \cdot \sin (x) \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.6

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.9

Somma $1$ e $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.10

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 1.11

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)$

Passaggio 1.11.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}$

Passaggio 1.11.2

Somma $3$ e $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Passaggio 1.12

Riordina i termini.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos^{2} (x)$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Sposta $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.7.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 3 ({\cos (x)}^{1 + 2} (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{3} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos^{3} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cdot (\cos^{3} (x) \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Sposta $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.10.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 2} (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.2.10.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 (\sin^{3} (x) (\cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.3

Sottrai $4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ da $- 6 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) = 0$

Passaggio 4

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{4} (x) = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $\cos^{4} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 6

Imposta $\cos^{2} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\cos^{2} (x)$ uguale a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos^{2} (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (x) = \pm 0$

Passaggio 6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.7

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 7

Imposta $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ uguale a $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sostituisci $- 3 \sin^{2} (x)$ con $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 3 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 7.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 3 + 3 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 7.2.3

Somma $3 \cos^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 7.2.4

Riordina il polinomio.

$4 \cos^{2} (x) - 3 = 0$

Passaggio 7.2.5

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Passaggio 7.2.6

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \cos^{2} (x) = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \cos^{2} (x) = 3$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.6.2.1.2

Dividi $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.7

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Passaggio 7.2.8

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 7.2.8.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 7.2.8.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.2.9

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.9.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.2.9.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.2.9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.2.10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.2.11

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.2.11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2.11.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2.11.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2.11.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.4.2.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2.11.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 7.2.11.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.4.3.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 7.2.11.4.3.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 7.2.11.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

Passaggio 7.2.12

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.2.12.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.12.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.2.12.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.2.12.4

Semplifica $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.12.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.2.12.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.12.4.2.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.2.12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Passaggio 7.2.12.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.12.4.3.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Passaggio 7.2.12.4.3.2

Sottrai $5 π$ da $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 7.2.12.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Passaggio 7.2.13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 10 \cos^{3} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 10 \cdot 0^{3} \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 10 \cdot 0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 6 \cdot 1^{3} \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 6 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $6$ per $1$ .

$0 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.9

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$0 + 6 \cdot 0$

Passaggio 10.1.10

Moltiplica $6$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 10.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}) \cup (\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6}) \cup (\frac{11 π}{6}, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{6})$ nella derivata prima $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 3 \cos^{2} (0) \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = - 3 \cdot (1^{2} \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Passaggio 11.2.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (0) = - 3 \cdot (1 \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Passaggio 11.2.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (0) = - 3 \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Passaggio 11.2.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0^{2} + \cos^{4} (0)$

Passaggio 11.2.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + \cos^{4} (0)$

Passaggio 11.2.2.1.6

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + \cos^{4} (0)$

Passaggio 11.2.2.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 0 + 1^{4}$

Passaggio 11.2.2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (0) = 0 + 1$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 11.2.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ nella derivata prima $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 3 \cos^{2} (1) \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Calcola $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 3 \cdot ({0.5403023}^{2} \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Passaggio 11.3.2.1.2

Eleva $0.5403023$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = - 3 \cdot (0.29192658 \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Passaggio 11.3.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0.29192658$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Passaggio 11.3.2.1.4

Calcola $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot {0.84147098}^{2} + \cos^{4} (1)$

Passaggio 11.3.2.1.5

Eleva $0.84147098$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot 0.70807341 + \cos^{4} (1)$

Passaggio 11.3.2.1.6

Moltiplica $- 0.87577974$ per $0.70807341$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + \cos^{4} (1)$

Passaggio 11.3.2.1.7

Calcola $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + {0.5403023}^{4}$

Passaggio 11.3.2.1.8

Eleva $0.5403023$ alla potenza di $4$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + 0.08522112$

Passaggio 11.3.2.2

Somma $- 0.62011635$ e $0.08522112$ .

$f' (1) = - 0.53489522$

Passaggio 11.3.2.3

La risposta finale è $- 0.53489522$ .

$- 0.53489522$

Passaggio 11.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ nella derivata prima $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 3 \cos^{2} (2) \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1

Calcola $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 3 {(- 0.41614683)}^{2} \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Passaggio 11.4.2.1.2

Eleva $- 0.41614683$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot (0.17317818 \sin^{2} (2)) + \cos^{4} (2)$

Passaggio 11.4.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0.17317818$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Passaggio 11.4.2.1.4

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot {0.90929742}^{2} + \cos^{4} (2)$

Passaggio 11.4.2.1.5

Eleva $0.90929742$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot 0.82682181 + \cos^{4} (2)$

Passaggio 11.4.2.1.6

Moltiplica $- 0.51953456$ per $0.82682181$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + \cos^{4} (2)$

Passaggio 11.4.2.1.7

Calcola $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + {(- 0.41614683)}^{4}$

Passaggio 11.4.2.1.8

Eleva $- 0.41614683$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + 0.02999068$

Passaggio 11.4.2.2

Somma $- 0.42956251$ e $0.02999068$ .

$f' (2) = - 0.39957182$

Passaggio 11.4.2.3

La risposta finale è $- 0.39957182$ .

$- 0.39957182$

Passaggio 11.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6})$ nella derivata prima $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - 3 \cos^{2} (3) \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Passaggio 11.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1.1

Calcola $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 3 {(- 0.98999249)}^{2} \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Passaggio 11.5.2.1.2

Eleva $- 0.98999249$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot (0.98008514 \sin^{2} (3)) + \cos^{4} (3)$

Passaggio 11.5.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0.98008514$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Passaggio 11.5.2.1.4

Calcola $\sin (3)$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot {0.14112}^{2} + \cos^{4} (3)$

Passaggio 11.5.2.1.5

Eleva $0.14112$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot 0.01991485 + \cos^{4} (3)$

Passaggio 11.5.2.1.6

Moltiplica $- 2.94025542$ per $0.01991485$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + \cos^{4} (3)$

Passaggio 11.5.2.1.7

Calcola $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + {(- 0.98999249)}^{4}$

Passaggio 11.5.2.1.8

Eleva $- 0.98999249$ alla potenza di $4$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + 0.96056688$

Passaggio 11.5.2.2

Somma $- 0.05855476$ e $0.96056688$ .

$f' (3) = 0.90201212$

Passaggio 11.5.2.3

La risposta finale è $0.90201212$ .

$0.90201212$

Passaggio 11.6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ nella derivata prima $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - 3 \cos^{2} (4) \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Passaggio 11.6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.2.1.1

Calcola $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 3 {(- 0.65364362)}^{2} \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Passaggio 11.6.2.1.2

Eleva $- 0.65364362$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = - 3 \cdot (0.42724998 \sin^{2} (4)) + \cos^{4} (4)$

Passaggio 11.6.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0.42724998$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Passaggio 11.6.2.1.4

Calcola $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 1.28174994 {(- 0.75680249)}^{2} + \cos^{4} (4)$

Passaggio 11.6.2.1.5

Eleva $- 0.75680249$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \cdot 0.57275001 + \cos^{4} (4)$

Passaggio 11.6.2.1.6

Moltiplica $- 1.28174994$ per $0.57275001$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + \cos^{4} (4)$

Passaggio 11.6.2.1.7

Calcola $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + {(- 0.65364362)}^{4}$

Passaggio 11.6.2.1.8

Eleva $- 0.65364362$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + 0.18254254$

Passaggio 11.6.2.2

Somma $- 0.7341223$ e $0.18254254$ .

$f' (4) = - 0.55157975$

Passaggio 11.6.2.3

La risposta finale è $- 0.55157975$ .

$- 0.55157975$

Passaggio 11.7

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $5$ , dell'intervallo $(\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6})$ nella derivata prima $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - 3 \cos^{2} (5) \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Passaggio 11.7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.2.1.1

Calcola $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 3 \cdot ({0.28366218}^{2} \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Passaggio 11.7.2.1.2

Eleva $0.28366218$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot (0.08046423 \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Passaggio 11.7.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0.08046423$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Passaggio 11.7.2.1.4

Calcola $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.2413927 {(- 0.95892427)}^{2} + \cos^{4} (5)$

Passaggio 11.7.2.1.5

Eleva $- 0.95892427$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \cdot 0.91953576 + \cos^{4} (5)$

Passaggio 11.7.2.1.6

Moltiplica $- 0.2413927$ per $0.91953576$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + \cos^{4} (5)$

Passaggio 11.7.2.1.7

Calcola $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + {0.28366218}^{4}$

Passaggio 11.7.2.1.8

Eleva $0.28366218$ alla potenza di $4$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + 0.00647449$

Passaggio 11.7.2.2

Somma $- 0.22196922$ e $0.00647449$ .

$f' (5) = - 0.21549473$

Passaggio 11.7.2.3

La risposta finale è $- 0.21549473$ .

$- 0.21549473$

Passaggio 11.8

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $8$ , dell'intervallo $(\frac{11 π}{6}, \infty)$ nella derivata prima $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f' (8) = - 3 \cos^{2} (8) \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Passaggio 11.8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.2.1.1

Calcola $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 3 {(- 0.14550003)}^{2} \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Passaggio 11.8.2.1.2

Eleva $- 0.14550003$ alla potenza di $2$ .

$f' (8) = - 3 \cdot (0.02117025 \sin^{2} (8)) + \cos^{4} (8)$

Passaggio 11.8.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0.02117025$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Passaggio 11.8.2.1.4

Calcola $\sin (8)$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot {0.98935824}^{2} + \cos^{4} (8)$

Passaggio 11.8.2.1.5

Eleva $0.98935824$ alla potenza di $2$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot 0.97882974 + \cos^{4} (8)$

Passaggio 11.8.2.1.6

Moltiplica $- 0.06351077$ per $0.97882974$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + \cos^{4} (8)$

Passaggio 11.8.2.1.7

Calcola $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + {(- 0.14550003)}^{4}$

Passaggio 11.8.2.1.8

Eleva $- 0.14550003$ alla potenza di $4$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + 0.00044817$

Passaggio 11.8.2.2

Somma $- 0.06216623$ e $0.00044817$ .

$f' (8) = - 0.06171805$

Passaggio 11.8.2.3

La risposta finale è $- 0.06171805$ .

$- 0.06171805$

Passaggio 11.9

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{π}{6}$ , allora $x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale.

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 11.10

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = \frac{π}{2}$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 11.11

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{5 π}{6}$ , allora $x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale.

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 11.12

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{7 π}{6}$ , allora $x = \frac{7 π}{6}$ è un massimo locale.

$x = \frac{7 π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 11.13

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = \frac{3 π}{2}$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 11.14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

$x = \frac{7 π}{6}$ è un massimo locale

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

$x = \frac{7 π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 12