Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (2 x) + 2 \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (2 x) + 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 \cos (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 5

Fattorizza $4 \cos^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $2$ da $4 \cos^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $2$ da $4 \cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $2$ da $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x)) = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Riordina i termini.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) - 1) + 1 (2 \cos (x) - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 \cos (x) - 1$ .

$2 ((2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 7

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $2 \cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 7.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 7.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 7.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 7.2.7

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Passaggio 8

Imposta $\cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $\cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $\cos (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 8.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 8.2.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 8.2.5

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 8.2.6

La soluzione dell'equazione $x = π$ .

$x = π, π$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, π$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{3})) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 11.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 4 \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 11.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 11.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 11.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 11.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sqrt{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 11.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.6.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \sqrt{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sqrt{3} - 1 \sqrt{3}$

Passaggio 11.1.7

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Passaggio 11.2

Sottrai $\sqrt{3}$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Passaggio 12

$x = \frac{π}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = \sin (2 (\frac{π}{3})) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 13.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 13.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 13.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 13.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 13.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}$

Passaggio 13.2.2

Per scrivere $\sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 13.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

$\sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Passaggio 13.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Passaggio 13.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.2.4.2

Somma $\sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.2.5

La risposta finale è $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4 \sin (2 (\frac{5 π}{3})) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Moltiplica $2 (\frac{5 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.1

$2$ e $\frac{5 π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 (5 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- 4 \sin (\frac{10 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 4 \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{3})) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (- \sqrt{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \sqrt{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$2 \sqrt{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 15.1.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$2 \sqrt{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15.1.9.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Passaggio 15.1.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3}$

Passaggio 15.1.11

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2

Somma $2 \sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Passaggio 16

$x = \frac{5 π}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 17

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (2 (\frac{5 π}{3})) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 17.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.1

Moltiplica $2 (\frac{5 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.1.1

$2$ e $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (\frac{2 (5 π)}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 17.2.1.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (\frac{10 π}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 17.2.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 17.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 17.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 17.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 17.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 17.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 17.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 17.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

Passaggio 17.2.2

Per scrivere $- \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 17.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.1

$- \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Passaggio 17.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Passaggio 17.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.4.2

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.6

La risposta finale è $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda per $x = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4 \sin (2 (π)) - 2 \sin (π)$

Passaggio 19

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 4 \sin (0) - 2 \sin (π)$

Passaggio 19.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 4 \cdot 0 - 2 \sin (π)$

Passaggio 19.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0 - 2 \sin (π)$

Passaggio 19.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$0 - 2 \sin (0)$

Passaggio 19.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Passaggio 19.1.6

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 19.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 20

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, π) \cup (π, \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}, \infty)$

Passaggio 20.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{3})$ nella derivata prima $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 2 \cos (2 (0)) + 2 \cos (0)$

Passaggio 20.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = 2 \cos (0) + 2 \cos (0)$

Passaggio 20.2.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 2 \cdot 1 + 2 \cos (0)$

Passaggio 20.2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (0) = 2 + 2 \cos (0)$

Passaggio 20.2.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Passaggio 20.2.2.1.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (0) = 2 + 2$

Passaggio 20.2.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$f' (0) = 4$

Passaggio 20.2.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 20.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(\frac{π}{3}, π)$ nella derivata prima $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 2 \cos (2 (2)) + 2 \cos (2)$

Passaggio 20.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = 2 \cos (4) + 2 \cos (2)$

Passaggio 20.3.2.1.2

Calcola $\cos (4)$ .

$f' (2) = 2 \cdot - 0.65364362 + 2 \cos (2)$

Passaggio 20.3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.30728724 + 2 \cos (2)$

Passaggio 20.3.2.1.4

Calcola $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 1.30728724 + 2 \cdot - 0.41614683$

Passaggio 20.3.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 1.30728724 - 0.83229367$

Passaggio 20.3.2.2

Sottrai $0.83229367$ da $- 1.30728724$ .

$f' (2) = - 2.13958091$

Passaggio 20.3.2.3

La risposta finale è $- 2.13958091$ .

$- 2.13958091$

Passaggio 20.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(π, \frac{5 π}{3})$ nella derivata prima $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 2 \cos (2 (4)) + 2 \cos (4)$

Passaggio 20.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (4) = 2 \cos (8) + 2 \cos (4)$

Passaggio 20.4.2.1.2

Calcola $\cos (8)$ .

$f' (4) = 2 \cdot - 0.14550003 + 2 \cos (4)$

Passaggio 20.4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 0.14550003$ .

$f' (4) = - 0.29100006 + 2 \cos (4)$

Passaggio 20.4.2.1.4

Calcola $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 0.29100006 + 2 \cdot - 0.65364362$

Passaggio 20.4.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 0.65364362$ .

$f' (4) = - 0.29100006 - 1.30728724$

Passaggio 20.4.2.2

Sottrai $1.30728724$ da $- 0.29100006$ .

$f' (4) = - 1.5982873$

Passaggio 20.4.2.3

La risposta finale è $- 1.5982873$ .

$- 1.5982873$

Passaggio 20.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $8$ , dell'intervallo $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ nella derivata prima $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f' (8) = 2 \cos (2 (8)) + 2 \cos (8)$

Passaggio 20.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.5.2.1.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f' (8) = 2 \cos (16) + 2 \cos (8)$

Passaggio 20.5.2.1.2

Calcola $\cos (16)$ .

$f' (8) = 2 \cdot - 0.95765948 + 2 \cos (8)$

Passaggio 20.5.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 0.95765948$ .

$f' (8) = - 1.91531896 + 2 \cos (8)$

Passaggio 20.5.2.1.4

Calcola $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 1.91531896 + 2 \cdot - 0.14550003$

Passaggio 20.5.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 0.14550003$ .

$f' (8) = - 1.91531896 - 0.29100006$

Passaggio 20.5.2.2

Sottrai $0.29100006$ da $- 1.91531896$ .

$f' (8) = - 2.20631902$

Passaggio 20.5.2.3

La risposta finale è $- 2.20631902$ .

$- 2.20631902$

Passaggio 20.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{π}{3}$ , allora $x = \frac{π}{3}$ è un massimo locale.

$x = \frac{π}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 20.7

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = π$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 20.8

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (2 x) + 2 \sin (x)$ .

$x = \frac{π}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 21