Calcolo Esempi

$f (x) = \tan (x) - x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (x) - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$- 1 + \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.4.2

Riordina $- 1$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Passaggio 1.4.3

Applica l'identità pitagorica.

$\tan^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Passaggio 2.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.3

Riordina i fattori di $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\tan^{2} (x) = 0$

Passaggio 4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\tan (x) = \pm 0$

Passaggio 5.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$\tan (x) = 0$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (0)$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + 0$

Passaggio 9

Somma $π$ e $0$ .

$x = π$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, π$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 12.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

Passaggio 12.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

Passaggio 12.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \tan (0)$

Passaggio 12.4

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$2 \cdot 0$

Passaggio 12.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0$

Passaggio 13

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 14