Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (4 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.2.2.1

$4$ e $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2}$

Passaggio 2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{x} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6