Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Passaggio 1.2.2

Riordina i fattori di $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \cos (x^{2})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $\cos (x^{2})$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

Passaggio 5

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x^{2})$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x^{2})$ uguale a $0$ .

$\cos (x^{2}) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x^{2}) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci $u$ a $x^{2}$ .

$\cos (u) = 0$

Passaggio 6.2.2

Trova il valore dell'incognita $u$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$u = \arccos (0)$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.2.5.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.6

La soluzione dell'equazione $u = \frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.7

Sostituisci $x^{2}$ a $u$ e risolvi $x^{2} = \frac{π}{2}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

Passaggio 6.2.7.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{π}{2}}$ come $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.7.2.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.7.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.2.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 6.2.7.2.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.7.2.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Passaggio 6.2.7.2.5

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Passaggio 6.2.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Passaggio 6.2.7.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Passaggio 6.2.7.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Passaggio 6.2.8

Sostituisci $x^{2}$ a $u$ e risolvi $x^{2} = \frac{3 π}{2}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Passaggio 6.2.8.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ come $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.8.2.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.8.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.2.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 6.2.8.2.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.8.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.2.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Passaggio 6.2.8.2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 6.2.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 6.2.8.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 6.2.8.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x \cos (x^{2}) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Passaggio 9.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $0$ per $0$ .

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Passaggio 9.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Passaggio 9.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 2$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Passaggio 11.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi ${\sqrt{6 π}}^{2}$ come $6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 π}$ come ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.2.5

Semplifica.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.5

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.7

Riscrivi ${\sqrt{6 π}}^{2}$ come $6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 π}$ come ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.7.5

Semplifica.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.9

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.9.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.11

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.13

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 13.1.14

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 13.1.15

Riscrivi ${\sqrt{6 π}}^{2}$ come $6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.15.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 π}$ come ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 13.1.15.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Passaggio 13.1.15.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Passaggio 13.1.15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.15.4.1

Elimina il fattore comune.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Passaggio 13.1.15.4.2

Riscrivi l'espressione.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Passaggio 13.1.15.5

Semplifica.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Passaggio 13.1.16

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 13.1.17

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.17.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 13.1.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.17.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 13.1.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 13.1.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.18

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 13.1.19

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Passaggio 13.1.20

Moltiplica $2$ per $0$ .

$6 π + 0$

Passaggio 13.2

Somma $6 π$ e $0$ .

$6 π$

Passaggio 14

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 15.2.2

Riscrivi ${\sqrt{6 π}}^{2}$ come $6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 π}$ come ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 15.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Passaggio 15.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Passaggio 15.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Passaggio 15.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Passaggio 15.2.2.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Passaggio 15.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 15.2.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 15.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 15.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 15.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 15.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 15.2.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 15.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Passaggio 15.2.8

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.4

Riscrivi ${\sqrt{6 π}}^{2}$ come $6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 π}$ come ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.4.5

Semplifica.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.7

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.8

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.10

Moltiplica $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.11

Riscrivi ${\sqrt{6 π}}^{2}$ come $6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 π}$ come ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.11.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.11.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.11.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.11.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.11.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.11.5

Semplifica.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.13

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.13.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.13.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.14

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.15

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.17

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.18

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.18.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 17.1.18.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 17.1.19

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 17.1.20

Moltiplica $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 17.1.21

Riscrivi ${\sqrt{6 π}}^{2}$ come $6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.21.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 π}$ come ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 17.1.21.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Passaggio 17.1.21.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Passaggio 17.1.21.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.21.4.1

Elimina il fattore comune.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Passaggio 17.1.21.4.2

Riscrivi l'espressione.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Passaggio 17.1.21.5

Semplifica.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Passaggio 17.1.22

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 17.1.23

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.23.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 17.1.23.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.23.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 17.1.23.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 17.1.23.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.1.24

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 17.1.25

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Passaggio 17.1.26

Moltiplica $2$ per $0$ .

$6 π + 0$

Passaggio 17.2

Somma $6 π$ e $0$ .

$6 π$

Passaggio 18

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Passaggio 19.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 19.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 19.2.2.2

Moltiplica $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 19.2.3

Riscrivi ${\sqrt{6 π}}^{2}$ come $6 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 π}$ come ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 19.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Passaggio 19.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Passaggio 19.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Passaggio 19.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Passaggio 19.2.3.5

Semplifica.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Passaggio 19.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 19.2.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.5.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 19.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 19.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 19.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 19.2.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 19.2.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 19.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Passaggio 19.2.9

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (x^{2})$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ è un minimo locale

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 21