Calcolo Esempi

$f (x) = \sec (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sec (u)$ rispetto a $u$ è $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (2 x) \tan (2 x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (2 x)$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\tan (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.4

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.6.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{3} (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.7.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.8

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.9

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.12

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.14.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Passaggio 2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Passaggio 2.15.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Passaggio 2.15.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Passaggio 2.15.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

$\tan (2 x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\sec (2 x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\sec (2 x)$ uguale a $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Passaggio 5.2

L'intervallo della secante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 6

Imposta $\tan (2 x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\tan (2 x)$ uguale a $0$ .

$\tan (2 x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\tan (2 x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arctan (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 6.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 6.2.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = π + 0$

Passaggio 6.2.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Somma $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Passaggio 6.2.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.6

La soluzione dell'equazione $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sec (2 x) \tan (2 x) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \tan^{2} (2 (0)) \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$4 \tan^{2} (0) \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Passaggio 9.1.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Passaggio 9.1.6

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 4 \sec^{3} (0)$

Passaggio 9.1.9

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$0 + 4 \cdot 1^{3}$

Passaggio 9.1.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 4 \cdot 1$

Passaggio 9.1.11

Moltiplica $4$ per $1$ .

$0 + 4$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $4$ .

$4$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sec (2 (0))$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = \sec (0)$

Passaggio 11.2.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \tan^{2} (2 (\frac{π}{2})) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \tan^{2} (2 \frac{π}{2}) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \tan^{2} (π) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$4 {(- \tan (0))}^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$4 {(- 0)}^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.6

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$0 \sec (2 \frac{π}{2}) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$0 (- \sec (0)) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.9

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.10

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 \cdot - 1 + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.10.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.1.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.1

Elimina il fattore comune.

$0 + 4 \sec^{3} (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 13.1.11.2

Riscrivi l'espressione.

$0 + 4 \sec^{3} (π)$

Passaggio 13.1.12

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$0 + 4 {(- \sec (0))}^{3}$

Passaggio 13.1.13

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$0 + 4 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Passaggio 13.1.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 4 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 13.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$0 + 4 \cdot - 1$

Passaggio 13.1.16

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$0 - 4$

Passaggio 13.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 14

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 15.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (π)$

Passaggio 15.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = - \sec (0)$

Passaggio 15.2.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 15.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1$

Passaggio 15.2.5

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sec (2 x)$ .

$(0, 1)$ è un minimo locale

$(\frac{π}{2}, - 1)$ è un massimo locale

Passaggio 17