Calcolo Esempi

$g (x) = \sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$ come ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.7.3

Sposta ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 41$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 1.10

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 1.12

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 1.13

Poiché $41$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $41$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + 0)$

Passaggio 1.14

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$

Passaggio 1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.2

Moltiplica $2 x - 8$ per $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.3

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.4

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 4}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.5

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.6.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.15.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.15.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 4$ e $g (x) = {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} - 8 x + 41$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} - 8 x + 41$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.10.3

Sposta ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 41$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.13

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.15

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.16

Poiché $41$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $41$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 + 0))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.17

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1

Sia $u_{2} = {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ con $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.1

Eleva $u_{2}$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.1.2

Eleva $u_{2}$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = u_{2}$ e $b = x - 4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 4) (u_{2} - (x - 4))}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 4) (u_{2} - x + 4)}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 4) (u_{2} - x + 4)}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x - 4) ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - x + 4)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.3.1

Espandi $({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x - 4) ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.2

Combina i termini opposti in ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.3.2.1

Riordina i fattori nei termini di ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ e $x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.2.2

Somma $- x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ e $x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 0 + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.2.3

Somma ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.2.4

Riordina i fattori nei termini di ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4$ e $- 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.2.5

Sottrai $4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ da $4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 + 0 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.2.6

Somma ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.3.3.1

Moltiplica ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.3.3.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.1.4

Dividi $2$ per $2$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 8 x + 41) + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.2

Semplifica ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{1}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x \cdot x + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.3.3.4.1

Sposta $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x \cdot x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.5

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 \cdot x - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 x + 4 x - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.3.7

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.4

Combina i termini opposti in $x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 x + 4 x - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.3.4.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 8 x + 41 + 0 + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.4.2

Somma $- 8 x + 41$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 8 x + 41 + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.5

Somma $- 8 x$ e $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 4 x + 41 + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.6

Combina i termini opposti in $- 4 x + 41 + 4 x - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.3.6.1

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{0 + 41 - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.6.2

Somma $0$ e $41$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{41 - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.2.3.7

Sottrai $16$ da $41$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.18.3.1

Riscrivi $\frac{\frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$ come un prodotto.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 2.18.3.2

Moltiplica $\frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 8 x + 41)}$

Passaggio 2.18.3.3

Moltiplica ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} - 8 x + 41$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.3.1

Moltiplica ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} - 8 x + 41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.3.1.1

Eleva $x^{2} - 8 x + 41$ alla potenza di $1$ .

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 8 x + 41)}$

Passaggio 2.18.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.18.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.18.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.18.3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

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Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$ come ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Passaggio 4.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 41$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 4.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 4.1.10

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 4.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 4.1.12

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [41])$

Passaggio 4.1.13

Poiché $41$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $41$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + 0)$

Passaggio 4.1.14

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$

Passaggio 4.1.15

Semplifica.

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Passaggio 4.1.15.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.2

Moltiplica $2 x - 8$ per $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.3

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.4

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 4}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.5

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.1.15.6.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.1.15.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.15.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{25}{{({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25}{{(16 - 8 \cdot 4 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$\frac{25}{{(16 - 32 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $32$ da $16$ .

$\frac{25}{{(- 16 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.3

Somma $- 16$ e $41$ .

$\frac{25}{25^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{25}{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.5

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25}{5^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{25}{5^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 9.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25}{5^{3}}$

Passaggio 9.1.7

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{25}{125}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $25$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$\frac{25 (1)}{125}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5}$

Passaggio 10

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$g (4) = \sqrt{{(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 41}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$g (4) = \sqrt{16 - 8 \cdot 4 + 41}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$g (4) = \sqrt{16 - 32 + 41}$

Passaggio 11.2.3

Sottrai $32$ da $16$ .

$g (4) = \sqrt{- 16 + 41}$

Passaggio 11.2.4

Somma $- 16$ e $41$ .

$g (4) = \sqrt{25}$

Passaggio 11.2.5

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$g (4) = \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 11.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$g (4) = 5$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $g (x) = \sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$(4, 5)$ è un minimo locale

Passaggio 13