Calcolo Esempi

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5 \ln (3 x - 9)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 \ln (3 x - 9)$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 1.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Passaggio 1.2.8

Somma $3$ e $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Passaggio 1.2.9

$\frac{1}{3 x - 9}$ e $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Passaggio 1.2.10

Elimina il fattore comune di $3$ e $3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Passaggio 1.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Passaggio 1.2.10.2.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Passaggio 1.2.10.2.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Passaggio 1.2.10.2.4

Elimina il fattore comune.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Passaggio 1.2.10.2.5

Riscrivi l'espressione.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Passaggio 1.2.11

$- 5$ e $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Passaggio 1.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Passaggio 1.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Passaggio 1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Passaggio 1.3.3

Sottrai $5$ da $- 3$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 8$ e $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $x - 3$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x - 3 - x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Combina i termini opposti in $x - 3 - x - - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.3

Somma $- 3$ e $8$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5 \ln (3 x - 9)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 \ln (3 x - 9)$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 4.1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 4.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 4.1.2.6

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Passaggio 4.1.2.8

Somma $3$ e $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Passaggio 4.1.2.9

$\frac{1}{3 x - 9}$ e $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Passaggio 4.1.2.10

Elimina il fattore comune di $3$ e $3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Passaggio 4.1.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Passaggio 4.1.2.10.2.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Passaggio 4.1.2.10.2.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Passaggio 4.1.2.10.2.4

Elimina il fattore comune.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Passaggio 4.1.2.10.2.5

Riscrivi l'espressione.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Passaggio 4.1.2.11

$- 5$ e $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Passaggio 4.1.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Passaggio 4.1.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Passaggio 4.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Passaggio 4.1.3.3

Sottrai $5$ da $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 8}{x - 3}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x - 8}{x - 3}$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x - 8}{x - 3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x - 8 = 0$

Passaggio 5.3

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 8}{x - 3}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 8$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{5}{{((8) - 3)}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $3$ da $8$ .

$\frac{5}{5^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{5}{25}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $5$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (1)}{25}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5}$

Passaggio 10

$x = 8$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 8$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f (8) = (8) - 5 \ln (3 (8) - 9)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (24 - 9)$

Passaggio 11.2.1.2

Sottrai $9$ da $24$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (15)$

Passaggio 11.2.1.3

Semplifica $- 5 \ln (15)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$f (8) = 8 - \ln (15^{5})$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $15$ alla potenza di $5$ .

$f (8) = 8 - \ln (759375)$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $8 - \ln (759375)$ .

$y = 8 - \ln (759375)$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$ .

$(8, 8 - \ln (759375))$ è un minimo locale

Passaggio 13