Calcolo Esempi

$f (x) = x - b \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - b \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- b \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2.3

$\frac{1}{x}$ e $b$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \frac{b}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{b}{x}$ rispetto a $x$ è $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- x^{- 2})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 b x^{- 2}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $b$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 + b x^{- 2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + b (\frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 2.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$b$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{b}{x^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $0$ e $\frac{b}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{b}{x^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - b \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- b \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Passaggio 4.1.2.3

$\frac{1}{x}$ e $b$ .

$f' (x) = 1 - \frac{b}{x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 - \frac{b}{x}$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 - \frac{b}{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{b}{x} = - 1$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $- \frac{b}{x} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{b}{x} = - 1$ per $x$ .

$- \frac{b}{x} x = - x$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{b}{x}$ nel numeratore.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Passaggio 5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- b = - x$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $- x = - b$ .

$- x = - b$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - b$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - b$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- b}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- b}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- b}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{b}{1}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Dividi $b$ per $1$ .

$x = b$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{b}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 6.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$b = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = b$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = b$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{b}{{(b)}^{2}}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $b$ e ${(b)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$\frac{b^{1}}{{(b)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Scomponi $b$ da $b^{1}$ .

$\frac{b \cdot 1}{{(b)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi $b$ da ${(b)}^{2}$ .

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{b}$

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11