Calcolo Esempi

$f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Passaggio 1.2.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Passaggio 1.2.7

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Passaggio 1.2.8

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.9

$- 6$ e $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 12 x + 1$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x + 1) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 12 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + 0) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $2 x - 12$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.11.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 (x^{2} - 12 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) + (- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (2 x - 12)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 12) + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Sposta $- 12$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.5

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.5

Moltiplica $- 12$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 0 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Somma $- 12 x^{2} + 2 x - 12$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2.4

Somma $- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.3

Somma $- 12 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Scomponi $12$ da $12 x^{2} - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Scomponi $12$ da $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.1.2

Scomponi $12$ da $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) + 12 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.1.3

Scomponi $12$ da $12 (x^{2}) + 12 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Passaggio 4.1.2.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Passaggio 4.1.2.7

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Passaggio 4.1.2.8

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.9

$- 6$ e $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.3.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} - 12 x + 1 = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 12$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sottrai $4$ da $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Riscrivi $140$ come $2^{2} \cdot 35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.4.1.3

Sottrai $4$ da $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.4.1.4

Riscrivi $140$ come $2^{2} \cdot 35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Passaggio 5.3.4.3

Semplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Passaggio 5.3.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 6 + \sqrt{35}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.5.1.3

Sottrai $4$ da $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.5.1.4

Riscrivi $140$ come $2^{2} \cdot 35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Passaggio 5.3.5.3

Semplifica $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Passaggio 5.3.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 6 - \sqrt{35}$

Passaggio 5.3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 6 + \sqrt{35}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{12 ((6 + \sqrt{35}) + 1) ((6 + \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Somma $6$ e $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35} - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi ${(6 + \sqrt{35})}^{2}$ come $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{((6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Espandi $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 (6 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3.1.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3.1.4

Moltiplica $35$ per $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{1225} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3.1.5

Riscrivi $1225$ come $35^{2}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3.2

Somma $36$ e $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3.3

Somma $6 \sqrt{35}$ e $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.4

Somma $71$ e $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.3

Raggruppa $5 + \sqrt{35}$ e $7 + \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.4

Espandi $(5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (5 (7 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.1

Moltiplica $5$ per $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.5.1.2

Sposta $7$ alla sinistra di $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.5.1.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.5.1.4

Moltiplica $35$ per $35$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{1225})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.5.1.5

Riscrivi $1225$ come $35^{2}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.5.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.5.2

Somma $35$ e $35$ .

$\frac{12 (70 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.5.3

Somma $5 \sqrt{35}$ e $7 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 9.6

Riscrivi ${(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}$ come $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.7

Espandi $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 (72 + 12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1.1

Moltiplica $72$ per $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.8.1.2

Moltiplica $12$ per $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.8.1.3

Moltiplica $72$ per $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.8.1.4

Moltiplica $12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1.4.1

Moltiplica $12$ per $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Passaggio 9.8.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Passaggio 9.8.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Passaggio 9.8.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.8.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Passaggio 9.8.1.5

Riscrivi ${\sqrt{35}}^{2}$ come $35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{35}$ come $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.8.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.8.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.8.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.8.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.8.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Passaggio 9.8.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Passaggio 9.8.1.6

Moltiplica $144$ per $35$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 5040}$

Passaggio 9.8.2

Somma $5184$ e $5040$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.8.3

Somma $864 \sqrt{35}$ e $864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 1728 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.9.1

Scomponi $12$ da $10224$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 1728 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.9.2

Scomponi $12$ da $1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (144 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.9.3

Scomponi $12$ da $12 (852) + 12 (144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.9.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.9.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{70 + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.10

Elimina il fattore comune di $70 + 12 \sqrt{35}$ e $852 + 144 \sqrt{35}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.10.1

Scomponi $2$ da $70$ .

$\frac{2 (35) + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.10.2

Scomponi $2$ da $12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.10.3

Scomponi $2$ da $2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.10.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.10.4.1

Scomponi $2$ da $852$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.10.4.2

Scomponi $2$ da $144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (72 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.10.4.3

Scomponi $2$ da $2 (426) + 2 (72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.10.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.10.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.11

Moltiplica $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ per $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Passaggio 9.12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.12.1

Moltiplica $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ per $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{(426 + 72 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}$

Passaggio 9.12.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{181476 - 30672 \sqrt{35} + 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Passaggio 9.12.3

Semplifica.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{36}$

Passaggio 9.12.4

Elimina il fattore comune di $426 - 72 \sqrt{35}$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.12.4.1

Scomponi $6$ da $(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{36}$

Passaggio 9.12.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.12.4.2.1

Scomponi $6$ da $36$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Passaggio 9.12.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Passaggio 9.12.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.13

Espandi $(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{35 (71 - 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.14

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.14.1.1

Moltiplica $35$ per $71$ .

$\frac{2485 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.14.1.2

Moltiplica $- 12$ per $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.14.1.3

Moltiplica $71$ per $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.14.1.4

Moltiplica $6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.14.1.4.1

Moltiplica $- 12$ per $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 9.14.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.14.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Passaggio 9.14.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Passaggio 9.14.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Passaggio 9.14.1.5

Riscrivi ${\sqrt{35}}^{2}$ come $35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.14.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{35}$ come $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Passaggio 9.14.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Passaggio 9.14.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Passaggio 9.14.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.14.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Passaggio 9.14.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Passaggio 9.14.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Passaggio 9.14.1.6

Moltiplica $- 72$ per $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Passaggio 9.14.2

Sottrai $2520$ da $2485$ .

$\frac{- 35 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 9.14.3

Somma $- 420 \sqrt{35}$ e $426 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 9.15

Riscrivi $- 35$ come $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) + 6 \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 9.16

Scomponi $- 1$ da $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.17

Scomponi $- 1$ da $- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 - 6 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 9.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 10

$x = 6 + \sqrt{35}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 6 + \sqrt{35}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 6 + \sqrt{35}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6 + \sqrt{35}$ nell'espressione.

$f (6 + \sqrt{35}) = (6 + \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (6 + \sqrt{35}) = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$ .

$y = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 6 - \sqrt{35}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{12 ((6 - \sqrt{35}) + 1) ((6 - \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Somma $6$ e $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35} - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riscrivi ${(6 - \sqrt{35})}^{2}$ come $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{((6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.2

Espandi $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 (6 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.4

Moltiplica $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{35}$ per $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{35}}^{2}$ come $35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{35}$ come $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{1} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.2

Somma $36$ e $35$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3.3

Sottrai $6 \sqrt{35}$ da $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Passaggio 13.2.4

Somma $71$ e $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.3

Raggruppa $5 - \sqrt{35}$ e $7 - \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.4

Espandi $(5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (5 (7 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1.1

Moltiplica $5$ per $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.3

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.4

Moltiplica $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{35}$ per $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.4.4

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.5

Riscrivi ${\sqrt{35}}^{2}$ come $35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{35}$ come $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.2

Somma $35$ e $35$ .

$\frac{12 (70 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.5.3

Sottrai $7 \sqrt{35}$ da $- 5 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Passaggio 13.6

Riscrivi ${(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}$ come $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.7

Espandi $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 (72 - 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1.1

Moltiplica $72$ per $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.8.1.2

Moltiplica $- 12$ per $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.8.1.3

Moltiplica $72$ per $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.8.1.4

Moltiplica $- 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1.4.1

Moltiplica $- 12$ per $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Passaggio 13.8.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Passaggio 13.8.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Passaggio 13.8.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Passaggio 13.8.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Passaggio 13.8.1.5

Riscrivi ${\sqrt{35}}^{2}$ come $35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{35}$ come $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 13.8.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 13.8.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 13.8.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 13.8.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Passaggio 13.8.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Passaggio 13.8.1.6

Moltiplica $144$ per $35$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 5040}$

Passaggio 13.8.2

Somma $5184$ e $5040$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.8.3

Sottrai $864 \sqrt{35}$ da $- 864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 1728 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1

Scomponi $12$ da $10224$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 - 1728 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.9.2

Scomponi $12$ da $- 1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (- 144 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.9.3

Scomponi $12$ da $12 (852) + 12 (- 144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.9.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.9.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{70 - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.10

Elimina il fattore comune di $70 - 12 \sqrt{35}$ e $852 - 144 \sqrt{35}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.10.1

Scomponi $2$ da $70$ .

$\frac{2 (35) - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.10.2

Scomponi $2$ da $- 12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.10.3

Scomponi $2$ da $2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.10.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.10.4.1

Scomponi $2$ da $852$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 - 144 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.10.4.2

Scomponi $2$ da $- 144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (- 72 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.10.4.3

Scomponi $2$ da $2 (426) + 2 (- 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.10.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.10.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.11

Moltiplica $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ per $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Passaggio 13.12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.12.1

Moltiplica $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ per $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{(426 - 72 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}$

Passaggio 13.12.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{181476 + 30672 \sqrt{35} - 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Passaggio 13.12.3

Semplifica.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{36}$

Passaggio 13.12.4

Elimina il fattore comune di $426 + 72 \sqrt{35}$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.12.4.1

Scomponi $6$ da $(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{36}$

Passaggio 13.12.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.12.4.2.1

Scomponi $6$ da $36$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Passaggio 13.12.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Passaggio 13.12.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.13

Espandi $(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{35 (71 + 12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.14

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.14.1.1

Moltiplica $35$ per $71$ .

$\frac{2485 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.14.1.2

Moltiplica $12$ per $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.14.1.3

Moltiplica $71$ per $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.14.1.4

Moltiplica $- 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.14.1.4.1

Moltiplica $12$ per $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 13.14.1.4.2

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.14.1.4.3

Eleva $\sqrt{35}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Passaggio 13.14.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Passaggio 13.14.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Passaggio 13.14.1.5

Riscrivi ${\sqrt{35}}^{2}$ come $35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.14.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{35}$ come $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Passaggio 13.14.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Passaggio 13.14.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Passaggio 13.14.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.14.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Passaggio 13.14.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Passaggio 13.14.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Passaggio 13.14.1.6

Moltiplica $- 72$ per $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Passaggio 13.14.2

Sottrai $2520$ da $2485$ .

$\frac{- 35 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 13.14.3

Sottrai $426 \sqrt{35}$ da $420 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 13.15

Riscrivi $- 35$ come $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) - 6 \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 13.16

Scomponi $- 1$ da $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (6 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.17

Scomponi $- 1$ da $- 1 (35) - (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 + 6 \sqrt{35})}{6}$

Passaggio 13.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Passaggio 14

$x = 6 - \sqrt{35}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 6 - \sqrt{35}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 6 - \sqrt{35}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6 - \sqrt{35}$ nell'espressione.

$f (6 - \sqrt{35}) = (6 - \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica $- 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$f (6 - \sqrt{35}) = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Passaggio 15.2.2

La risposta finale è $6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$ .

$y = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ .

$(6 + \sqrt{35}, 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1))$ è un minimo locale

$(6 - \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6}))$ è un massimo locale

Passaggio 17