Calcolo Esempi

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

Passaggio 1.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sottrai $\sin (x)$ da $\sin (x)$ .

$x \cos (x) + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $x \cos (x)$ e $0$ .

$x \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

Passaggio 2.3.2.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$\cos (x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x \cos (x) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$0 \sin (0) + \cos (0)$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 \cdot 0 + \cos (0)$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$0 + \cos (0)$

Passaggio 9.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 1$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = (0) \sin (0) + \cos (0)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 0 + \cos (0)$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Passaggio 11.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 11.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 13.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- \frac{π}{2} + 0$

Passaggio 13.2

Somma $- \frac{π}{2}$ e $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Passaggio 14

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 15.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Passaggio 15.2.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 π}{2} \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \frac{3 π}{2} (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{3 π}{2} (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.1.4

Moltiplica $- \frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.1.4.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $1$ .

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 17.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{3 π}{2} + 0$

Passaggio 17.2

Somma $\frac{3 π}{2}$ e $0$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 18

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 19.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.1

$\frac{3 π}{2}$ e $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π \cdot - 1}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 19.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 19.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 19.2.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + 0$

Passaggio 19.2.2

Somma $- \frac{3 π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2}$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $- \frac{3 π}{2}$ .

$y = - \frac{3 π}{2}$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ è un minimo locale

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ è un massimo locale

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 21