Calcolo Esempi

$h (t) = - 16 t^{2} + V o t + h o$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 16 t^{2} + V o t + h o$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$ .

$\frac{d}{d t} [- 16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 16 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 16 t^{2}$ rispetto a $t$ è $- 16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 16 (2 t) + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$- 32 t + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [V o t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $V o$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $V o t$ rispetto a $t$ è $V o \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 32 t + V o \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 32 t + V o \cdot 1 + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $V$ per $1$ .

$- 32 t + V o + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 1.4

Poiché $h o$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $h o$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 32 t + V o + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $- 32 t + V o$ e $0$ .

$- 32 t + V o$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$V o - 32 t$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $V o - 32 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [V o] + \frac{d}{d t} [- 32 t]$ .

$h'' (t) = \frac{d}{d t} (V o) + \frac{d}{d t} (- 32 t)$

Passaggio 2.1.2

Poiché $V o$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $V o$ rispetto a $t$ è $0$ .

$h'' (t) = 0 + \frac{d}{d t} (- 32 t)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 32 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 32 t$ rispetto a $t$ è $- 32 \frac{d}{d t} [t]$ .

$h'' (t) = 0 - 32 \frac{d}{d t} t$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$h'' (t) = 0 - 32 \cdot 1$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 32$ per $1$ .

$h'' (t) = 0 - 32$

Passaggio 2.3

Sottrai $32$ da $0$ .

$h'' (t) = - 32$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$V o - 32 t = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 16 t^{2} + V o t + h o$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$ .

$\frac{d}{d t} [- 16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 16 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 16 t^{2}$ rispetto a $t$ è $- 16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 16 (2 t) + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$- 32 t + \frac{d}{d t} [V o t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [V o t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $V o$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $V o t$ rispetto a $t$ è $V o \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 32 t + V o \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 32 t + V o \cdot 1 + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $V$ per $1$ .

$- 32 t + V o + \frac{d}{d t} [h o]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $h o$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $h o$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 32 t + V o + 0$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Somma $- 32 t + V o$ e $0$ .

$- 32 t + V o$

Passaggio 4.1.5.2

Riordina i termini.

$f' (t) = V o - 32 t$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $h (t)$ rispetto a $t$ è $V o - 32 t$ .

$V o - 32 t$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $V o - 32 t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$V o - 32 t = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $V o$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 32 t = - V o$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 32$ ciascun termine in $- 32 t = - V o$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 32$ ciascun termine in $- 32 t = - V o$ .

$\frac{- 32 t}{- 32} = \frac{- V o}{- 32}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 32 t}{- 32} = \frac{- V o}{- 32}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{- V o}{- 32}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$t = \frac{V o}{32}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = \frac{V o}{32}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{V o}{32}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 32$

Passaggio 9

$t = \frac{V o}{32}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{V o}{32}$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $t = \frac{V o}{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{V o}{32}$ nell'espressione.

$h (\frac{V o}{32}) = - 16 {(\frac{V o}{32})}^{2} + V o (\frac{V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{V o}{32}$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - 16 \frac{{(V o)}^{2}}{32^{2}} + V o (\frac{V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $V o$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - 16 \frac{V^{2} o^{2}}{32^{2}} + V o (\frac{V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - 16 \frac{V^{2} o^{2}}{1024} + V o (\frac{V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.3

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.3.1

Scomponi $16$ da $- 16$ .

$h (\frac{V o}{32}) = 16 (- 1) (\frac{V^{2} o^{2}}{1024}) + V o (\frac{V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.3.2

Scomponi $16$ da $1024$ .

$h (\frac{V o}{32}) = 16 \cdot (- 1 \frac{V^{2} o^{2}}{16 \cdot 64}) + V o (\frac{V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$h (\frac{V o}{32}) = 16 \cdot (- 1 \frac{V^{2} o^{2}}{16 \cdot 64}) + V o (\frac{V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$h (\frac{V o}{32}) = - 1 \frac{V^{2} o^{2}}{64} + V o (\frac{V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.4

Riscrivi $- 1 \frac{V^{2} o^{2}}{64}$ come $- \frac{V^{2} o^{2}}{64}$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + V o (\frac{V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.5

Moltiplica $V o (\frac{V o}{32})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.5.1

$V$ e $\frac{V o}{32}$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + o (\frac{V (V o)}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.5.2

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + o (\frac{V \cdot V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.5.3

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + o (\frac{V \cdot V o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + o (\frac{V^{1 + 1} o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + o (\frac{V^{2} o}{32}) + h o$

Passaggio 10.2.1.5.6

$o$ e $\frac{V^{2} o}{32}$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + \frac{o (V^{2} o)}{32} + h o$

Passaggio 10.2.1.5.7

Eleva $o$ alla potenza di $1$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + \frac{V^{2} (o \cdot o)}{32} + h o$

Passaggio 10.2.1.5.8

Eleva $o$ alla potenza di $1$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + \frac{V^{2} (o \cdot o)}{32} + h o$

Passaggio 10.2.1.5.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + \frac{V^{2} o^{1 + 1}}{32} + h o$

Passaggio 10.2.1.5.10

Somma $1$ e $1$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + \frac{V^{2} o^{2}}{32} + h o$

Passaggio 10.2.2

Per scrivere $\frac{V^{2} o^{2}}{32}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + \frac{V^{2} o^{2}}{32} \cdot \frac{2}{2} + h o$

Passaggio 10.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $64$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica $\frac{V^{2} o^{2}}{32}$ per $\frac{2}{2}$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + \frac{V^{2} o^{2} \cdot 2}{32 \cdot 2} + h o$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $32$ per $2$ .

$h (\frac{V o}{32}) = - \frac{V^{2} o^{2}}{64} + \frac{V^{2} o^{2} \cdot 2}{64} + h o$

Passaggio 10.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$h (\frac{V o}{32}) = \frac{- V^{2} o^{2} + V^{2} o^{2} \cdot 2}{64} + h o$

Passaggio 10.2.5

Riordina $o^{2}$ e $2$ .

$h (\frac{V o}{32}) = \frac{- 1 o^{2} V^{2} + 2 \cdot (o^{2} V^{2})}{64} + h o$

Passaggio 10.2.6

Somma $- 1 o^{2} V^{2}$ e $2 \cdot o^{2} V^{2}$ .

$h (\frac{V o}{32}) = \frac{1 o^{2} V^{2}}{64} + h o$

Passaggio 10.2.7

Moltiplica $o^{2}$ per $1$ .

$h (\frac{V o}{32}) = \frac{o^{2} V^{2}}{64} + h o$

Passaggio 10.2.8

La risposta finale è $\frac{o^{2} V^{2}}{64} + h o$ .

$y = \frac{o^{2} V^{2}}{64} + h o$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $h (t) = - 16 t^{2} + V o t + h o$ .

$(\frac{V o}{32}, \frac{o^{2} V^{2}}{64} + h o)$ è un massimo locale

Passaggio 12