Calcolo Esempi

$h (t) = \frac{t^{2}}{t + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 3$ .

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(t + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2} \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 t + 2 \cdot 3) t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot 3 t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot 3 t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot 3 t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 t^{2} + 6 t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $t^{2}$ da $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 6 t}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $t$ da $t^{2} + 6 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t + 6 t}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $t$ da $6 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot 6}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t + t \cdot 6$ .

$\frac{t (t + 6)}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t (t + 6)) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t (t + 6)) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t (t + 6)) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = t + 6$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (t \frac{d}{d t} (t + 6) + (t + 6) \frac{d}{d t} (t)) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 6$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (t (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (6)) + (t + 6) \frac{d}{d t} (t)) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (t (1 + \frac{d}{d t} (6)) + (t + 6) \frac{d}{d t} (t)) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6$ rispetto a $t$ è $0$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (t (1 + 0) + (t + 6) \frac{d}{d t} (t)) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (t \cdot 1 + (t + 6) \frac{d}{d t} (t)) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $t$ per $1$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (t + (t + 6) \frac{d}{d t} (t)) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (t + (t + 6) \cdot 1) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Moltiplica $t + 6$ per $1$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (t + t + 6) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.6.2

Somma $t$ e $t$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t + 6) - t (t + 6) \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t + 3$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t + 6) - t (t + 6) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t + 6) - t (t + 6) (2 u \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t + 3$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t + 6) - t (t + 6) (2 (t + 3) \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$h'' (t) = \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t + 6) - 2 t (t + 6) ((t + 3) \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Scomponi $t + 3$ da ${(t + 3)}^{2} (2 t + 6) - 2 t (t + 6) ((t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $t + 3$ da ${(t + 3)}^{2} (2 t + 6)$ .

$h'' (t) = \frac{(t + 3) ((t + 3) (2 t + 6)) - 2 t (t + 6) ((t + 3) \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $t + 3$ da $- 2 t (t + 6) ((t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])$ .

$h'' (t) = \frac{(t + 3) ((t + 3) (2 t + 6)) + (t + 3) (- 2 t (t + 6) (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2.3

Scomponi $t + 3$ da $(t + 3) ((t + 3) (2 t + 6)) + (t + 3) (- 2 t (t + 6) (\frac{d}{d t} [t + 3]))$ .

$h'' (t) = \frac{(t + 3) ((t + 3) (2 t + 6) - 2 t (t + 6) (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Scomponi $t + 3$ da ${(t + 3)}^{4}$ .

$h'' (t) = \frac{(t + 3) ((t + 3) (2 t + 6) - 2 t (t + 6) (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$h'' (t) = \frac{(t + 3) ((t + 3) (2 t + 6) - 2 t (t + 6) (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$h'' (t) = \frac{(t + 3) (2 t + 6) - 2 t (t + 6) (\frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$h'' (t) = \frac{(t + 3) (2 t + 6) - 2 t (t + 6) (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (3))}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$h'' (t) = \frac{(t + 3) (2 t + 6) - 2 t (t + 6) (1 + \frac{d}{d t} (3))}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$h'' (t) = \frac{(t + 3) (2 t + 6) - 2 t (t + 6) (1 + 0)}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$h'' (t) = \frac{(t + 3) (2 t + 6) - 2 t (t + 6) \cdot 1}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$h'' (t) = \frac{(t + 3) (2 t + 6) - 2 t (t + 6)}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$h'' (t) = \frac{(t + 3) (2 t + 6) - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1

Espandi $(t + 3) (2 t + 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$h'' (t) = \frac{t (2 t + 6) + 3 (2 t + 6) - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$h'' (t) = \frac{t (2 t) + t \cdot 6 + 3 (2 t + 6) - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$h'' (t) = \frac{t (2 t) + t \cdot 6 + 3 (2 t) + 3 \cdot 6 - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$h'' (t) = \frac{2 t \cdot t + t \cdot 6 + 3 (2 t) + 3 \cdot 6 - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2.1

Sposta $t$ .

$h'' (t) = \frac{2 (t \cdot t) + t \cdot 6 + 3 (2 t) + 3 \cdot 6 - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$h'' (t) = \frac{2 t^{2} + t \cdot 6 + 3 (2 t) + 3 \cdot 6 - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.3

Sposta $6$ alla sinistra di $t$ .

$h'' (t) = \frac{2 t^{2} + 6 \cdot t + 3 (2 t) + 3 \cdot 6 - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$h'' (t) = \frac{2 t^{2} + 6 t + 6 t + 3 \cdot 6 - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.5

Moltiplica $3$ per $6$ .

$h'' (t) = \frac{2 t^{2} + 6 t + 6 t + 18 - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.2

Somma $6 t$ e $6 t$ .

$h'' (t) = \frac{2 t^{2} + 12 t + 18 - 2 t \cdot t - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.3

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.3.1

Sposta $t$ .

$h'' (t) = \frac{2 t^{2} + 12 t + 18 - 2 (t \cdot t) - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.3.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$h'' (t) = \frac{2 t^{2} + 12 t + 18 - 2 t^{2} - 2 t \cdot 6}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.4

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$h'' (t) = \frac{2 t^{2} + 12 t + 18 - 2 t^{2} - 12 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2

Combina i termini opposti in $2 t^{2} + 12 t + 18 - 2 t^{2} - 12 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.2.1

Sottrai $2 t^{2}$ da $2 t^{2}$ .

$h'' (t) = \frac{12 t + 18 + 0 - 12 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.2

Somma $12 t + 18$ e $0$ .

$h'' (t) = \frac{12 t + 18 - 12 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.3

Sottrai $12 t$ da $12 t$ .

$h'' (t) = \frac{0 + 18}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.4

Somma $0$ e $18$ .

$h'' (t) = \frac{18}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{t (t + 6)}{{(t + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(t + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2} \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (t + 3) t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 t + 2 \cdot 3) t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot 3 t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot 3 t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot 3 t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 t^{2} + 6 t - t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sottrai $t^{2}$ da $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 6 t}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Scomponi $t$ da $t^{2} + 6 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t + 6 t}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4.2

Scomponi $t$ da $6 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot 6}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t + t \cdot 6$ .

$f' (t) = \frac{t (t + 6)}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $h (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{t (t + 6)}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$\frac{t (t + 6)}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{t (t + 6)}{{(t + 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{t (t + 6)}{{(t + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$t (t + 6) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$t = 0$

$t + 6 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $t$ uguale a $0$ .

$t = 0$

Passaggio 5.3.3

Imposta $t + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $t + 6$ uguale a $0$ .

$t + 6 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 6$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $t (t + 6) = 0$ vera.

$t = 0, - 6$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{t (t + 6)}{{(t + 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(t + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Poni $t + 3$ uguale a $0$ .

$t + 3 = 0$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 3$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = 0, - 6$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{18}{{((0) + 3)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{18}{3^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{18}{27}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $18$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{9 (2)}{27}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3}$

Passaggio 10

$t = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0$ nell'espressione.

$h (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) + 3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h (0) = \frac{0}{0 + 3}$

Passaggio 11.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$h (0) = \frac{0}{3}$

Passaggio 11.2.3

Dividi $0$ per $3$ .

$h (0) = 0$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $t = - 6$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{18}{{((- 6) + 3)}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Somma $- 6$ e $3$ .

$\frac{18}{{(- 3)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{18}{- 27}$

Passaggio 13.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune di $18$ e $- 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{9 (2)}{- 27}$

Passaggio 13.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.2.1

Scomponi $9$ da $- 27$ .

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot - 3}$

Passaggio 13.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot - 3}$

Passaggio 13.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{- 3}$

Passaggio 13.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3}$

Passaggio 14

$t = - 6$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = - 6$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $t = - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 6$ nell'espressione.

$h (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{(- 6) + 3}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$h (- 6) = \frac{36}{- 6 + 3}$

Passaggio 15.2.2

Somma $- 6$ e $3$ .

$h (- 6) = \frac{36}{- 3}$

Passaggio 15.2.3

Dividi $36$ per $- 3$ .

$h (- 6) = - 12$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $- 12$ .

$y = - 12$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $h (t) = \frac{t^{2}}{t + 3}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(- 6, - 12)$ è un massimo locale

Passaggio 17