Calcolo Esempi

$h (r) = - \frac{1}{{(r - 2)}^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ è $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ dove $f (r) = - 1$ e $g (r) = \frac{1}{{(r - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d r} [\frac{1}{{(r - 2)}^{2}}] + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(r - 2)}^{2}}$ come ${({(r - 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d r} [{({(r - 2)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(r - 2)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d r} [{(r - 2)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{d}{d r} [{(r - 2)}^{- 2}] + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 2}$ e $g (r) = r - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r - 2$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d r} [r - 2]) + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d r} [r - 2]) + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r - 2$ .

$- (- 2 {(r - 2)}^{- 3} \frac{d}{d r} [r - 2]) + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 ({(r - 2)}^{- 3} \frac{d}{d r} [r - 2]) + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $r - 2$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 2]$ .

$2 {(r - 2)}^{- 3} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 2]) + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 {(r - 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d r} [- 2]) + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.4.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $r$ è $0$ .

$2 {(r - 2)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 {(r - 2)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 {(r - 2)}^{- 3} + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \frac{d}{d r} [- 1]$

Passaggio 1.4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $r$ è $0$ .

$2 {(r - 2)}^{- 3} + \frac{1}{{(r - 2)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{{(r - 2)}^{2}}$ per $0$ .

$2 {(r - 2)}^{- 3} + 0$

Passaggio 1.4.7.2

Somma $2 {(r - 2)}^{- 3}$ e $0$ .

$2 {(r - 2)}^{- 3}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(r - 2)}^{3}}$

Passaggio 1.5.2

$2$ e $\frac{1}{{(r - 2)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(r - 2)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{2}{{(r - 2)}^{3}}$ rispetto a $r$ è $2 \frac{d}{d r} [\frac{1}{{(r - 2)}^{3}}]$ .

$h'' (r) = 2 \frac{d}{d r} (\frac{1}{{(r - 2)}^{3}})$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(r - 2)}^{3}}$ come ${({(r - 2)}^{3})}^{- 1}$ .

$h'' (r) = 2 \frac{d}{d r} ({({(r - 2)}^{3})}^{- 1})$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(r - 2)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (r) = 2 \frac{d}{d r} ({(r - 2)}^{3 \cdot - 1})$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$h'' (r) = 2 \frac{d}{d r} ({(r - 2)}^{- 3})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 3}$ e $g (r) = r - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r - 2$ .

$h'' (r) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d r} (r - 2))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$h'' (r) = 2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d r} (r - 2))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r - 2$ .

$h'' (r) = 2 (- 3 {(r - 2)}^{- 4} \frac{d}{d r} (r - 2))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$h'' (r) = - 6 ({(r - 2)}^{- 4} \frac{d}{d r} (r - 2))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $r - 2$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 2]$ .

$h'' (r) = - 6 {(r - 2)}^{- 4} (\frac{d}{d r} (r) + \frac{d}{d r} (- 2))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$h'' (r) = - 6 {(r - 2)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d r} (- 2))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $r$ è $0$ .

$h'' (r) = - 6 {(r - 2)}^{- 4} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$h'' (r) = - 6 {(r - 2)}^{- 4} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$h'' (r) = - 6 {(r - 2)}^{- 4}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (r) = - 6 \frac{1}{{(r - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 6$ e $\frac{1}{{(r - 2)}^{4}}$ .

$h'' (r) = \frac{- 6}{{(r - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$h'' (r) = - \frac{6}{{(r - 2)}^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{2}{{(r - 2)}^{3}} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale