Calcolo Esempi

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2 \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

$- 2$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3.1.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Combina i termini opposti in $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Sottrai $2 x^{2} x$ da $2 x^{2} x$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.1.2

Somma $2 \cdot 1 x$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5.3

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 5.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 5.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 5.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 5.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4}{2^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{4}$

Passaggio 7.3

Dividi $4$ per $4$ .

$1$

Passaggio 8

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

Passaggio 9.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 9.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 9.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.1.3

Riscrivi $- 1 \frac{π}{2}$ come $- \frac{π}{2}$ .

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.2

La risposta finale è $1 - \frac{π}{2}$ .

$y = 1 - \frac{π}{2}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 4}{2^{2}}$

Passaggio 11.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 4}{4}$

Passaggio 11.3

Dividi $- 4$ per $4$ .

$- 1$

Passaggio 12

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Passaggio 13.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{4}$ nel numeratore.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

Passaggio 13.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

Passaggio 13.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 13.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 13.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

Passaggio 13.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 13.2.1.4

Moltiplica $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

Passaggio 13.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

Passaggio 13.2.2

La risposta finale è $- 1 + \frac{π}{2}$ .

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ .

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ è un minimo locale

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ è un massimo locale

Passaggio 15