Calcolo Esempi

$V (x) = x (10 - 2 x) (16 - 2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x (10 - 2 x)$ e $g (x) = 16 - 2 x$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [16 - 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (10 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x (10 - 2 x) \cdot - 2 + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x (10 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (10 - 2 x)) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 10 - 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [10 - 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \cdot - 2 + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.6.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 \cdot x + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + (10 - 2 x) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.1

Moltiplica $10 - 2 x$ per $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + 10 - 2 x)$

Passaggio 1.4.8.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Passaggio 1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Passaggio 1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$- 20 x - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$- 20 x + 4 x \cdot x + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 20 x + 4 x^{1 + 1} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.7

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.8

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x \cdot x + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{1 + 1} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.13

Moltiplica $16$ per $10$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 1.5.5.14

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 20 x$

Passaggio 1.5.5.15

Sottrai $20 x$ da $- 64 x$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 84 x + 8 x^{2} + 160$

Passaggio 1.5.5.16

Sottrai $84 x$ da $- 20 x$ .

$4 x^{2} - 104 x + 8 x^{2} + 160$

Passaggio 1.5.5.17

Somma $4 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{2} - 104 x + 160$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 104 x] + \frac{d}{d x} [160]$ .

$V'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$V'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$V'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$V'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 104 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 104$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 104 x$ rispetto a $x$ è $- 104 \frac{d}{d x} [x]$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (160)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (160)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 104$ per $1$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 + \frac{d}{d x} (160)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $160$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $160$ rispetto a $x$ è $0$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $24 x - 104$ e $0$ .

$V'' (x) = 24 x - 104$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x (10 - 2 x)$ e $g (x) = 16 - 2 x$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [16 - 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (10 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 4.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 4.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x (10 - 2 x) \cdot - 2 + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x (10 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (10 - 2 x)) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 10 - 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [10 - 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.6.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \cdot - 2 + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4.6.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 \cdot x + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + (10 - 2 x) \cdot 1)$

Passaggio 4.1.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.8.1

Moltiplica $10 - 2 x$ per $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + 10 - 2 x)$

Passaggio 4.1.4.8.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Passaggio 4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$- 20 x - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$- 20 x + 4 x \cdot x + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 20 x + 4 x^{1 + 1} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.7

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.8

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x \cdot x + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{1 + 1} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.13

Moltiplica $16$ per $10$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 2 x \cdot 10$

Passaggio 4.1.5.5.14

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 20 x$

Passaggio 4.1.5.5.15

Sottrai $20 x$ da $- 64 x$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 84 x + 8 x^{2} + 160$

Passaggio 4.1.5.5.16

Sottrai $84 x$ da $- 20 x$ .

$4 x^{2} - 104 x + 8 x^{2} + 160$

Passaggio 4.1.5.5.17

Somma $4 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 104 x + 160$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $V (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 104 x + 160$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4$ da $12 x^{2} - 104 x + 160$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $4$ da $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 104 x + 160 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 104 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x) + 160 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $4$ da $160$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x) + 4 (40) = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $4$ da $4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x) + 4 (40) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (3 x^{2} - 26 x) + 4 (40)$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x + 40) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 40 = 120$ e la cui somma è $b = - 26$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Scomponi $- 26$ da $- 26 x$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x + 40) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 26$ come $- 6$ più $- 20$ .

$4 (3 x^{2} + (- 6 - 20) x + 40) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 (3 x^{2} - 6 x - 20 x + 40) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$4 ((3 x^{2} - 6 x) - 20 x + 40) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 (3 x (x - 2) - 20 (x - 2)) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 2$ .

$4 ((x - 2) (3 x - 20)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 2) (3 x - 20) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x - 20 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5.5

Imposta $3 x - 20$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $3 x - 20$ uguale a $0$ .

$3 x - 20 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $3 x - 20 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $20$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 20$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 20$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 20$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{20}{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 2) (3 x - 20) = 0$ vera.

$x = 2, \frac{20}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2, \frac{20}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 (2) - 104$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $24$ per $2$ .

$48 - 104$

Passaggio 9.2

Sottrai $104$ da $48$ .

$- 56$

Passaggio 10

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$V (2) = (2) (10 - 2 \cdot 2) (16 - 2 \cdot 2)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$V (2) = 2 (10 - 4) (16 - 2 \cdot 2)$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $4$ da $10$ .

$V (2) = 2 \cdot (6 (16 - 2 \cdot 2))$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$V (2) = 12 (16 - 2 \cdot 2)$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$V (2) = 12 (16 - 4)$

Passaggio 11.2.5

Sottrai $4$ da $16$ .

$V (2) = 12 \cdot 12$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $12$ per $12$ .

$V (2) = 144$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $144$ .

$y = 144$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{20}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 (\frac{20}{3}) - 104$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$3 (8) \frac{20}{3} - 104$

Passaggio 13.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 8 \frac{20}{3} - 104$

Passaggio 13.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$8 \cdot 20 - 104$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $8$ per $20$ .

$160 - 104$

Passaggio 13.2

Sottrai $104$ da $160$ .

$56$

Passaggio 14

$x = \frac{20}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{20}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{20}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{20}{3}$ nell'espressione.

$V (\frac{20}{3}) = (\frac{20}{3}) (10 - 2 (\frac{20}{3})) (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Moltiplica $- 2 (\frac{20}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

$- 2$ e $\frac{20}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 + \frac{- 2 \cdot 20}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Passaggio 15.2.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $20$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 + \frac{- 40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Passaggio 15.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Passaggio 15.2.3

$10$ e $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((\frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{10 \cdot 3 - 40}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Moltiplica $10$ per $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{30 - 40}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Passaggio 15.2.5.2

Sottrai $40$ da $30$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{- 10}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Passaggio 15.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot (- \frac{10}{3}) \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Passaggio 15.2.7

Moltiplica $\frac{20}{3} (- \frac{10}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.7.1

Moltiplica $\frac{20}{3}$ per $\frac{10}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{20 \cdot 10}{3 \cdot 3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Passaggio 15.2.7.2

Moltiplica $20$ per $10$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{3 \cdot 3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Passaggio 15.2.7.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Passaggio 15.2.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.8.1

Moltiplica $- 2 (\frac{20}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.8.1.1

$- 2$ e $\frac{20}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 + \frac{- 2 \cdot 20}{3})$

Passaggio 15.2.8.1.2

Moltiplica $- 2$ per $20$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 + \frac{- 40}{3})$

Passaggio 15.2.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 - \frac{40}{3})$

Passaggio 15.2.9

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3})$

Passaggio 15.2.10

$16$ e $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3})$

Passaggio 15.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{16 \cdot 3 - 40}{3}$

Passaggio 15.2.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.12.1

Moltiplica $16$ per $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{48 - 40}{3}$

Passaggio 15.2.12.2

Sottrai $40$ da $48$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{8}{3}$

Passaggio 15.2.13

Moltiplica $- \frac{200}{9} \cdot \frac{8}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.13.1

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $\frac{200}{9}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{8 \cdot 200}{3 \cdot 9}$

Passaggio 15.2.13.2

Moltiplica $8$ per $200$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{1600}{3 \cdot 9}$

Passaggio 15.2.13.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{1600}{27}$

Passaggio 15.2.14

La risposta finale è $- \frac{1600}{27}$ .

$y = - \frac{1600}{27}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $V (x) = x (10 - 2 x) (16 - 2 x)$ .

$(2, 144)$ è un massimo locale

$(\frac{20}{3}, - \frac{1600}{27})$ è un minimo locale

Passaggio 17