Calcolo Esempi

$v (t) = 170 \sin (120 π t)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $170$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $170 \sin (120 π t)$ rispetto a $t$ è $170 \frac{d}{d t} [\sin (120 π t)]$ .

$170 \frac{d}{d t} [\sin (120 π t)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 120 π t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $120 π t$ .

$170 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [120 π t])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$170 (\cos (u) \frac{d}{d t} [120 π t])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $120 π t$ .

$170 (\cos (120 π t) \frac{d}{d t} [120 π t])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $120 π$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $120 π t$ rispetto a $t$ è $120 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$170 \cos (120 π t) (120 π \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $120$ per $170$ .

$20400 \cos (120 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20400 \cos (120 π t) (π \cdot 1)$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$20400 \cos (120 π t) π$

Passaggio 1.3.4.2

Riordina i fattori di $20400 \cos (120 π t) π$ .

$20400 π \cos (120 π t)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $20400 π$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $20400 π \cos (120 π t)$ rispetto a $t$ è $20400 π \frac{d}{d t} [\cos (120 π t)]$ .

$v'' (t) = 20400 π \frac{d}{d t} (\cos (120 π t))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 120 π t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $120 π t$ .

$v'' (t) = 20400 π (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (120 π t))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$v'' (t) = 20400 π (- \sin (u) \frac{d}{d t} (120 π t))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $120 π t$ .

$v'' (t) = 20400 π (- \sin (120 π t) \frac{d}{d t} (120 π t))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $20400$ .

$v'' (t) = - 20400 π (\sin (120 π t) \frac{d}{d t} (120 π t))$

Passaggio 2.3.2

Poiché $120 π$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $120 π t$ rispetto a $t$ è $120 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$v'' (t) = - 20400 π \sin (120 π t) (120 π \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $120$ per $- 20400$ .

$v'' (t) = - 2448000 π \sin (120 π t) (π \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$v'' (t) = - 2448000 (π π) \sin (120 π t) \frac{d}{d t} t$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$v'' (t) = - 2448000 (π π) \sin (120 π t) \frac{d}{d t} t$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$v'' (t) = - 2448000 π^{1 + 1} \sin (120 π t) \frac{d}{d t} t$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$v'' (t) = - 2448000 π^{2} \sin (120 π t) \frac{d}{d t} t$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$v'' (t) = - 2448000 π^{2} \sin (120 π t) \cdot 1$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 2448000$ per $1$ .

$v'' (t) = - 2448000 π^{2} \sin (120 π t)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$20400 π \cos (120 π t) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $20400 π$ ciascun termine in $20400 π \cos (120 π t) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $20400 π$ ciascun termine in $20400 π \cos (120 π t) = 0$ .

$\frac{20400 π \cos (120 π t)}{20400 π} = \frac{0}{20400 π}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $20400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20400 π \cos (120 π t)}{20400 π} = \frac{0}{20400 π}$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \cos (120 π t)}{π} = \frac{0}{20400 π}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \cos (120 π t)}{π} = \frac{0}{20400 π}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $\cos (120 π t)$ per $1$ .

$\cos (120 π t) = \frac{0}{20400 π}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $20400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $20400$ da $0$ .

$\cos (120 π t) = \frac{20400 (0)}{20400 π}$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Scomponi $20400$ da $20400 π$ .

$\cos (120 π t) = \frac{20400 (0)}{20400 (π)}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (120 π t) = \frac{20400 \cdot 0}{20400 π}$

Passaggio 4.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (120 π t) = \frac{0}{π}$

Passaggio 4.3.2

Dividi $0$ per $π$ .

$\cos (120 π t) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$120 π t = \arccos (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$120 π t = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

Dividi per $120 π$ ciascun termine in $120 π t = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $120 π$ ciascun termine in $120 π t = \frac{π}{2}$ .

$\frac{120 π t}{120 π} = \frac{\frac{π}{2}}{120 π}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $120$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{120 π t}{120 π} = \frac{\frac{π}{2}}{120 π}$

Passaggio 7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π t}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{120 π}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π t}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{120 π}$

Passaggio 7.2.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{\frac{π}{2}}{120 π}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$t = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{120 π}$

Passaggio 7.3.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $π$ da $120 π$ .

$t = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 120}$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 120}$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{120}$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{120}$ .

$t = \frac{1}{2 \cdot 120}$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $2$ per $120$ .

$t = \frac{1}{240}$

Passaggio 8

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$120 π t = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$120 π t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$120 π t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$120 π t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$120 π t = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 9.1.5

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$120 π t = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9.2

Dividi per $120 π$ ciascun termine in $120 π t = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per $120 π$ ciascun termine in $120 π t = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{120 π t}{120 π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{120 π}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $120$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{120 π t}{120 π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{120 π}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π t}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{120 π}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π t}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{120 π}$

Passaggio 9.2.2.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{\frac{3 π}{2}}{120 π}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$t = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{120 π}$

Passaggio 9.2.3.2

Elimina il fattore comune di $3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.1

Scomponi $3 π$ da $120 π$ .

$t = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3 π (40)}$

Passaggio 9.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3 π \cdot 40}$

Passaggio 9.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{40}$

Passaggio 9.2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{40}$ .

$t = \frac{1}{2 \cdot 40}$

Passaggio 9.2.3.4

Moltiplica $2$ per $40$ .

$t = \frac{1}{80}$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $120 π t = \frac{π}{2}$ .

$t = \frac{1}{240}, \frac{1}{80}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{1}{240}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2448000 π^{2} \sin (120 π (\frac{1}{240}))$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Elimina il fattore comune di $120$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scomponi $120$ da $120 π$ .

$- 2448000 π^{2} \sin (120 (π) \frac{1}{240})$

Passaggio 12.1.2

Scomponi $120$ da $240$ .

$- 2448000 π^{2} \sin (120 (π) \frac{1}{120 (2)})$

Passaggio 12.1.3

Elimina il fattore comune.

$- 2448000 π^{2} \sin (120 π \frac{1}{120 \cdot 2})$

Passaggio 12.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2448000 π^{2} \sin (π \frac{1}{2})$

Passaggio 12.2

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2448000 π^{2} \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2448000 π^{2} \cdot 1$

Passaggio 12.4

Moltiplica $- 2448000$ per $1$ .

$- 2448000 π^{2}$

Passaggio 13

$t = \frac{1}{240}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{1}{240}$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $t = \frac{1}{240}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{1}{240}$ nell'espressione.

$v (\frac{1}{240}) = 170 \sin (120 π (\frac{1}{240}))$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune di $120$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Scomponi $120$ da $120 π$ .

$v (\frac{1}{240}) = 170 \sin (120 (π) (\frac{1}{240}))$

Passaggio 14.2.1.2

Scomponi $120$ da $240$ .

$v (\frac{1}{240}) = 170 \sin (120 (π) (\frac{1}{120 (2)}))$

Passaggio 14.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$v (\frac{1}{240}) = 170 \sin (120 π (\frac{1}{120 \cdot 2}))$

Passaggio 14.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$v (\frac{1}{240}) = 170 \sin (π (\frac{1}{2}))$

Passaggio 14.2.2

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$v (\frac{1}{240}) = 170 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 14.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$v (\frac{1}{240}) = 170 \cdot 1$

Passaggio 14.2.4

Moltiplica $170$ per $1$ .

$v (\frac{1}{240}) = 170$

Passaggio 14.2.5

La risposta finale è $170$ .

$y = 170$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{1}{80}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2448000 π^{2} \sin (120 π (\frac{1}{80}))$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Elimina il fattore comune di $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Scomponi $40$ da $120 π$ .

$- 2448000 π^{2} \sin (40 (3 π) \frac{1}{80})$

Passaggio 16.1.2

Scomponi $40$ da $80$ .

$- 2448000 π^{2} \sin (40 (3 π) \frac{1}{40 (2)})$

Passaggio 16.1.3

Elimina il fattore comune.

$- 2448000 π^{2} \sin (40 (3 π) \frac{1}{40 \cdot 2})$

Passaggio 16.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2448000 π^{2} \sin (3 π \frac{1}{2})$

Passaggio 16.2

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$- 2448000 π^{2} \sin (\frac{3}{2} π)$

Passaggio 16.3

$\frac{3}{2}$ e $π$ .

$- 2448000 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 2448000 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 16.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2448000 π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2448000 π^{2} \cdot - 1$

Passaggio 16.7

Moltiplica $- 1$ per $- 2448000$ .

$2448000 π^{2}$

Passaggio 17

$t = \frac{1}{80}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{1}{80}$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $t = \frac{1}{80}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{1}{80}$ nell'espressione.

$v (\frac{1}{80}) = 170 \sin (120 π (\frac{1}{80}))$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Elimina il fattore comune di $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1

Scomponi $40$ da $120 π$ .

$v (\frac{1}{80}) = 170 \sin (40 (3 π) (\frac{1}{80}))$

Passaggio 18.2.1.2

Scomponi $40$ da $80$ .

$v (\frac{1}{80}) = 170 \sin (40 (3 π) (\frac{1}{40 (2)}))$

Passaggio 18.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$v (\frac{1}{80}) = 170 \sin (40 (3 π) (\frac{1}{40 \cdot 2}))$

Passaggio 18.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$v (\frac{1}{80}) = 170 \sin (3 π (\frac{1}{2}))$

Passaggio 18.2.2

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$v (\frac{1}{80}) = 170 \sin (\frac{3}{2} \cdot π)$

Passaggio 18.2.3

$\frac{3}{2}$ e $π$ .

$v (\frac{1}{80}) = 170 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 18.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$v (\frac{1}{80}) = 170 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 18.2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$v (\frac{1}{80}) = 170 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 18.2.6

Moltiplica $170 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$v (\frac{1}{80}) = 170 \cdot - 1$

Passaggio 18.2.6.2

Moltiplica $170$ per $- 1$ .

$v (\frac{1}{80}) = - 170$

Passaggio 18.2.7

La risposta finale è $- 170$ .

$y = - 170$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $v (t) = 170 \sin (120 π t)$ .

$(\frac{1}{240}, 170)$ è un massimo locale

$(\frac{1}{80}, - 170)$ è un minimo locale

Passaggio 20