Calcolo Esempi

$u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{x^{2}}{1000} + \frac{x y^{2}}{100}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 1.2

Poiché $20 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $20 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $70$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $70 y$ rispetto a $y$ è $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $70$ per $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 1.4

Poiché $\frac{x^{2}}{1000}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{1000}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $\frac{x}{100}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x y^{2}}{100}$ rispetto a $y$ è $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Passaggio 1.5.3

$2$ e $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Passaggio 1.5.4

$\frac{2 x}{100}$ e $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Passaggio 1.5.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Scomponi $2$ da $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Passaggio 1.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1

Scomponi $2$ da $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Passaggio 1.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Passaggio 1.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Somma $0$ e $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Passaggio 1.6.1.2

Somma $70$ e $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Passaggio 1.6.2

Riordina i termini.

$\frac{x y}{50} + 70$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x y}{50} + 70$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}] + \frac{d}{d y} [70]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x y}{50}) + \frac{d}{d y} (70)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{x}{50}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x y}{50}$ rispetto a $y$ è $\frac{x}{50} \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot \frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (70)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot 1 + \frac{d}{d y} (70)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $\frac{x}{50}$ per $1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + \frac{d}{d y} (70)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $70$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $70$ rispetto a $y$ è $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{x}{50}$ e $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $20 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $20 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $70$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $70 y$ rispetto a $y$ è $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $70$ per $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $\frac{x^{2}}{1000}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{1000}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Passaggio 4.1.5

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $\frac{x}{100}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x y^{2}}{100}$ rispetto a $y$ è $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Passaggio 4.1.5.3

$2$ e $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Passaggio 4.1.5.4

$\frac{2 x}{100}$ e $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Passaggio 4.1.5.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1

Scomponi $2$ da $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Passaggio 4.1.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.2.1

Scomponi $2$ da $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Passaggio 4.1.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Passaggio 4.1.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

Somma $0$ e $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Somma $70$ e $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Passaggio 4.1.6.2

Riordina i termini.

$f' (y) = \frac{x y}{50} + 70$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $u (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{x y}{50} + 70$ .

$\frac{x y}{50} + 70$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x y}{50} + 70 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $70$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x y}{50} = - 70$

Passaggio 5.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $50$ .

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Passaggio 5.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Elimina il fattore comune di $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Passaggio 5.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x y = 50 \cdot - 70$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Moltiplica $50$ per $- 70$ .

$x y = - 3500$

Passaggio 5.5

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = - 3500$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = - 3500$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 3500}{x}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3500}{x}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$y = - \frac{3500}{x}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $y = - \frac{3500}{x}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{x}{50}$

Passaggio 9

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $y$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 9.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata prima $\frac{x y}{50} + 70$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sostituisci la variabile $y$ con $0$ nell'espressione.

$u' (0) = \frac{x (0)}{50} + 70$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1.1

Scomponi $50$ da $x (0)$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50} + 70$

Passaggio 9.2.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1.2.1

Scomponi $50$ da $50$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 (1)} + 70$

Passaggio 9.2.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 \cdot 1} + 70$

Passaggio 9.2.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u' (0) = \frac{x \cdot (0)}{1} + 70$

Passaggio 9.2.2.1.1.2.4

Dividi $x \cdot (0)$ per $1$ .

$u' (0) = x \cdot (0) + 70$

Passaggio 9.2.2.1.2

Moltiplica $x$ per $0$ .

$u' (0) = 0 + 70$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $0$ e $70$ .

$u' (0) = 70$

Passaggio 9.2.2.3

La risposta finale è $70$ .

$70$

Passaggio 9.3

Nessun massimo o minimo locale trovato per $u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 10