Calcolo Esempi

$t (x) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $101 - \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [101] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$ .

$\frac{d}{d x} [101] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $101$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $101$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{6}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{6} \cdot (1 - \frac{x}{6})]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{x^{2}}{6}$ e $g (x) = 1 - \frac{x}{6}$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{6}] + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \frac{x}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- \frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 1.2.8

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 1.2.11

Sottrai $\frac{1}{6}$ da $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (- \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 1.2.12

Moltiplica $\frac{x^{2}}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{6 \cdot 6} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 1.2.13

Moltiplica $6$ per $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 1.2.14

$2$ e $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{2}{6} x))$

Passaggio 1.2.15

$\frac{2}{6}$ e $x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{6})$

Passaggio 1.2.16

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.16.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 (x)}{6})$

Passaggio 1.2.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.16.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Passaggio 1.2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Passaggio 1.2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3})$

Passaggio 1.2.17

Per scrivere $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot \frac{36}{36})$

Passaggio 1.2.18

$(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ e $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + \frac{(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36})$

Passaggio 1.2.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36}$

Passaggio 1.2.20

$36$ e $\frac{x}{3}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{36 x}{3}}{36}$

Passaggio 1.2.21

Elimina il fattore comune di $36$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.21.1

Scomponi $3$ da $36 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3}}{36}$

Passaggio 1.2.21.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.21.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 (1)}}{36}$

Passaggio 1.2.21.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 \cdot 1}}{36}$

Passaggio 1.2.21.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{12 x}{1}}{36}$

Passaggio 1.2.21.2.4

Dividi $12 x$ per $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) (12 x)}{36}$

Passaggio 1.2.22

Sposta $12$ alla sinistra di $1 - \frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 (1 - \frac{x}{6}) x}{36}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 - \frac{- x^{2} + (12 \cdot 1 + 12 (- \frac{x}{6})) x}{36}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 \cdot 1 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Passaggio 1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 12 \frac{x}{6} x}{36}$

Passaggio 1.3.3.3

$- 12$ e $\frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 12 x}{6} x}{36}$

Passaggio 1.3.3.4

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1

Scomponi $6$ da $- 12 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6} x}{36}$

Passaggio 1.3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 (1)} x}{36}$

Passaggio 1.3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 \cdot 1} x}{36}$

Passaggio 1.3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 2 x}{1} x}{36}$

Passaggio 1.3.3.4.2.4

Dividi $- 2 x$ per $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x \cdot x}{36}$

Passaggio 1.3.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x)}{36}$

Passaggio 1.3.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x^{1})}{36}$

Passaggio 1.3.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{1 + 1}}{36}$

Passaggio 1.3.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{2}}{36}$

Passaggio 1.3.3.9

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$0 - \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Passaggio 1.3.3.10

Sottrai $\frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$ da $0$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $3 x$ da $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $3 x$ da $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{3 x (- x) + 12 x}{36}$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $3 x$ da $12 x$ .

$- \frac{3 x (- x) + 3 x (4)}{36}$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (- x) + 3 x (4)$ .

$- \frac{3 x (- x + 4)}{36}$

Passaggio 1.3.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $3$ da $3 x (- x + 4)$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{36}$

Passaggio 1.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Passaggio 1.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Passaggio 1.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x (- x + 4)}{12}$

Passaggio 1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{x (- (x) + 4)}{12}$

Passaggio 1.3.7

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{12}$

Passaggio 1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x - 4))}{12}$

Passaggio 1.3.9

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$- \frac{x (- 1 (x - 4))}{12}$

Passaggio 1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{x (x - 4)}{12}$

Passaggio 1.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{x (x - 4)}{12}$

Passaggio 1.3.12

Moltiplica $\frac{x (x - 4)}{12}$ per $1$ .

$\frac{x (x - 4)}{12}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x (x - 4)}{12}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x (x - 4)]$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x (x - 4))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 4$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x + (x - 4) \cdot 1)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $x - 4$ per $1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x + x - 4)$

Passaggio 2.3.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (2 x - 4)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (2 x) + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$2$ e $\frac{1}{12}$ .

$t'' (x) = \frac{2}{12} x + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Passaggio 2.4.2.2

$\frac{2}{12}$ e $x$ .

$t'' (x) = \frac{2 x}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Passaggio 2.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$t'' (x) = \frac{2 (x)}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Passaggio 2.4.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$t'' (x) = \frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Passaggio 2.4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$t'' (x) = \frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Passaggio 2.4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Passaggio 2.4.2.4

$\frac{1}{12}$ e $- 4$ .

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{- 4}{12}$

Passaggio 2.4.2.5

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{4 (- 1)}{12}$

Passaggio 2.4.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t'' (x) = \frac{x}{6} - \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x (x - 4)}{12} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [101] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $101$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $101$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{6}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{6} \cdot (1 - \frac{x}{6})]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$

Passaggio 4.1.2.3

$0 - (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{6}] + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 4.1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \frac{x}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 4.1.2.6

Poiché $- \frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 4.1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Passaggio 4.1.2.8

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 4.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 4.1.2.11

Sottrai $\frac{1}{6}$ da $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (- \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 4.1.2.12

Moltiplica $\frac{x^{2}}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{6 \cdot 6} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $6$ per $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Passaggio 4.1.2.14

$2$ e $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{2}{6} x))$

Passaggio 4.1.2.15

$\frac{2}{6}$ e $x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{6})$

Passaggio 4.1.2.16

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.16.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 (x)}{6})$

Passaggio 4.1.2.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.16.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Passaggio 4.1.2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Passaggio 4.1.2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3})$

Passaggio 4.1.2.17

Per scrivere $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot \frac{36}{36})$

Passaggio 4.1.2.18

$(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ e $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + \frac{(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36})$

Passaggio 4.1.2.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36}$

Passaggio 4.1.2.20

$36$ e $\frac{x}{3}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{36 x}{3}}{36}$

Passaggio 4.1.2.21

Elimina il fattore comune di $36$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.21.1

Scomponi $3$ da $36 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3}}{36}$

Passaggio 4.1.2.21.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.21.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 (1)}}{36}$

Passaggio 4.1.2.21.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 \cdot 1}}{36}$

Passaggio 4.1.2.21.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{12 x}{1}}{36}$

Passaggio 4.1.2.21.2.4

Dividi $12 x$ per $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) (12 x)}{36}$

Passaggio 4.1.2.22

Sposta $12$ alla sinistra di $1 - \frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 (1 - \frac{x}{6}) x}{36}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 - \frac{- x^{2} + (12 \cdot 1 + 12 (- \frac{x}{6})) x}{36}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 \cdot 1 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 12 \frac{x}{6} x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.3

$- 12$ e $\frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 12 x}{6} x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.4

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.4.1

Scomponi $6$ da $- 12 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6} x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.4.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 (1)} x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 \cdot 1} x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 2 x}{1} x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.4.2.4

Dividi $- 2 x$ per $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x \cdot x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x)}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x^{1})}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{1 + 1}}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{2}}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.9

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$0 - \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Passaggio 4.1.3.3.10

Sottrai $\frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$ da $0$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Passaggio 4.1.3.4

Scomponi $3 x$ da $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Scomponi $3 x$ da $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{3 x (- x) + 12 x}{36}$

Passaggio 4.1.3.4.2

Scomponi $3 x$ da $12 x$ .

$- \frac{3 x (- x) + 3 x (4)}{36}$

Passaggio 4.1.3.4.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (- x) + 3 x (4)$ .

$- \frac{3 x (- x + 4)}{36}$

Passaggio 4.1.3.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Scomponi $3$ da $3 x (- x + 4)$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{36}$

Passaggio 4.1.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.2.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Passaggio 4.1.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Passaggio 4.1.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x (- x + 4)}{12}$

Passaggio 4.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{x (- (x) + 4)}{12}$

Passaggio 4.1.3.7

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{12}$

Passaggio 4.1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x - 4))}{12}$

Passaggio 4.1.3.9

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$- \frac{x (- 1 (x - 4))}{12}$

Passaggio 4.1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{x (x - 4)}{12}$

Passaggio 4.1.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{x (x - 4)}{12}$

Passaggio 4.1.3.12

Moltiplica $\frac{x (x - 4)}{12}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 4)}{12}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $t (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x (x - 4)}{12}$ .

$\frac{x (x - 4)}{12}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x (x - 4)}{12} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x (x - 4)}{12} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (x - 4) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.3.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{0}{6} - \frac{1}{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi $0$ per $6$ .

$0 - \frac{1}{3}$

Passaggio 9.2

Sottrai $\frac{1}{3}$ da $0$ .

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$t (0) = 101 - \frac{1}{6} \cdot ({(0)}^{2} (1 - \frac{0}{6}))$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$t (0) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (0 (1 - \frac{0}{6}))$

Passaggio 11.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{6}$ nel numeratore.

$t (0) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (0 (1 - \frac{0}{6}))$

Passaggio 11.2.1.2.2

Scomponi $6$ da $0 (1 - \frac{0}{6})$ .

$t (0) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (6 (0 (1 - \frac{0}{6})))$

Passaggio 11.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$t (0) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (6 (0 (1 - \frac{0}{6})))$

Passaggio 11.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$t (0) = 101 - 1 \cdot (0 (1 - \frac{0}{6}))$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $0$ per $1 - \frac{0}{6}$ .

$t (0) = 101 - 1 \cdot 0$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$t (0) = 101 + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $101$ e $0$ .

$t (0) = 101$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $101$ .

$y = 101$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4}{6} - \frac{1}{3}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (2)}{6} - \frac{1}{3}$

Passaggio 13.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 13.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 13.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - 1}{3}$

Passaggio 13.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 14

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$t (4) = 101 - \frac{1}{6} \cdot ({(4)}^{2} (1 - \frac{4}{6}))$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$t (4) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (16 (1 - \frac{4}{6}))$

Passaggio 15.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{6}$ nel numeratore.

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (16 (1 - \frac{4}{6}))$

Passaggio 15.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot (16 (1 - \frac{4}{6}))$

Passaggio 15.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $16 (1 - \frac{4}{6})$ .

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot (2 (8 (1 - \frac{4}{6})))$

Passaggio 15.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 (8 (1 - \frac{4}{6})))$

Passaggio 15.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{3} \cdot (8 (1 - \frac{4}{6}))$

Passaggio 15.2.1.3

$8$ e $\frac{- 1}{3}$ .

$t (4) = 101 + \frac{8 \cdot - 1}{3} \cdot (1 - \frac{4}{6})$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$t (4) = 101 + \frac{- 8}{3} \cdot (1 - \frac{4}{6})$

Passaggio 15.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{4}{6})$

Passaggio 15.2.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2 (2)}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3})$

Passaggio 15.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3})$

Passaggio 15.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2}{3})$

Passaggio 15.2.1.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (\frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 15.2.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 2}{3}$

Passaggio 15.2.1.9

Sottrai $2$ da $3$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 15.2.1.10

Moltiplica $- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{8}{3}$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3 \cdot 3}$

Passaggio 15.2.1.10.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{9}$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $101$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$t (4) = 101 \cdot \frac{9}{9} - \frac{8}{9}$

Passaggio 15.2.3

$101$ e $\frac{9}{9}$ .

$t (4) = \frac{101 \cdot 9}{9} - \frac{8}{9}$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t (4) = \frac{101 \cdot 9 - 8}{9}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Moltiplica $101$ per $9$ .

$t (4) = \frac{909 - 8}{9}$

Passaggio 15.2.5.2

Sottrai $8$ da $909$ .

$t (4) = \frac{901}{9}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $\frac{901}{9}$ .

$y = \frac{901}{9}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $t (x) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))$ .

$(0, 101)$ è un massimo locale

$(4, \frac{901}{9})$ è un minimo locale

Passaggio 17