Calcolo Esempi

$r (x) = (40000 + \frac{10000}{3} x) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)]$

Passaggio 1.1.2

$\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 40000 + \frac{10000 x}{3}$ e $g (x) = 30 - x$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \frac{d}{d x} [30 - x] + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $30 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $40000 + \frac{10000 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.7

Poiché $40000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.8

Poiché $\frac{10000}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10000 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.11

Sottrai $1$ da $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot - 1 + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.12

Sposta $- 1$ alla sinistra di $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- 1 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.13

Riscrivi $- 1 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ come $- (40000 + \frac{10000 x}{3})$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.14

Moltiplica $\frac{10000}{3}$ per $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3}) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.2.15

Somma $0$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [6 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3})]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $40000 + \frac{10000 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $40000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Passaggio 1.3.5

Poiché $\frac{10000}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10000 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1)$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $\frac{10000}{3}$ per $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3})$

Passaggio 1.3.8

Somma $0$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{10000}{3})$

Passaggio 1.3.9

$6$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{6 \cdot 10000}{3}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $6$ per $10000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{60000}{3}$

Passaggio 1.3.11

Elimina il fattore comune di $60000$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.1

Scomponi $3$ da $60000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3}$

Passaggio 1.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 (1)}$

Passaggio 1.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{20000}{1}$

Passaggio 1.3.11.2.4

Dividi $20000$ per $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $40000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.2

$30$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{30 \cdot 10000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.3

Moltiplica $30$ per $10000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{300000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.4

Elimina il fattore comune di $300000$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.4.1

Scomponi $3$ da $300000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 (1)} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 \cdot 1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{100000}{1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.4.2.4

Dividi $100000$ per $1$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.5

$\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $- 40000$ e $100000$ .

$- \frac{10000 x}{3} + 60000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Passaggio 1.4.3.7

Sottrai $\frac{10000 x}{3}$ da $- \frac{10000 x}{3}$ .

$- 2 \frac{10000 x}{3} + 60000 + 20000$

Passaggio 1.4.3.8

$- 2$ e $\frac{10000 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (10000 x)}{3} + 60000 + 20000$

Passaggio 1.4.3.9

Moltiplica $10000$ per $- 2$ .

$\frac{- 20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Passaggio 1.4.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Passaggio 1.4.3.11

Somma $60000$ e $20000$ .

$- \frac{20000 x}{3} + 80000$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{20000 x}{3} + 80000$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{20000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [80000]$ .

$r'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{20000 x}{3}) + \frac{d}{d x} (80000)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{20000 x}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{20000}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{20000 x}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{20000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (80000)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (80000)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} + \frac{d}{d x} (80000)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $80000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $80000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- \frac{20000}{3}$ e $0$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

$\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)]$

Passaggio 4.1.1.2

$\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.1.3

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \frac{d}{d x} [30 - x] + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $30 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $40000 + \frac{10000 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.7

Poiché $40000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.8

Poiché $\frac{10000}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10000 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.11

Sottrai $1$ da $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot - 1 + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.12

Sposta $- 1$ alla sinistra di $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- 1 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.13

Riscrivi $- 1 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ come $- (40000 + \frac{10000 x}{3})$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.14

Moltiplica $\frac{10000}{3}$ per $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3}) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.2.15

Somma $0$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [6 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3})]$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$

Passaggio 4.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $40000 + \frac{10000 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Passaggio 4.1.3.4

Poiché $40000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Passaggio 4.1.3.5

Poiché $\frac{10000}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10000 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $\frac{10000}{3}$ per $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3})$

Passaggio 4.1.3.8

Somma $0$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{10000}{3})$

Passaggio 4.1.3.9

$6$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{6 \cdot 10000}{3}$

Passaggio 4.1.3.10

Moltiplica $6$ per $10000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{60000}{3}$

Passaggio 4.1.3.11

Elimina il fattore comune di $60000$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.11.1

Scomponi $3$ da $60000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3}$

Passaggio 4.1.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 (1)}$

Passaggio 4.1.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{20000}{1}$

Passaggio 4.1.3.11.2.4

Dividi $20000$ per $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $40000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.2

$30$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{30 \cdot 10000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.3

Moltiplica $30$ per $10000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{300000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.4

Elimina il fattore comune di $300000$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.4.1

Scomponi $3$ da $300000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 (1)} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 \cdot 1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{100000}{1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.4.2.4

Dividi $100000$ per $1$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - x \frac{10000}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.5

$\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.6

Somma $- 40000$ e $100000$ .

$- \frac{10000 x}{3} + 60000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.7

Sottrai $\frac{10000 x}{3}$ da $- \frac{10000 x}{3}$ .

$- 2 \frac{10000 x}{3} + 60000 + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.8

$- 2$ e $\frac{10000 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (10000 x)}{3} + 60000 + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.9

Moltiplica $10000$ per $- 2$ .

$\frac{- 20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Passaggio 4.1.4.3.11

Somma $60000$ e $20000$ .

$f' (x) = - \frac{20000 x}{3} + 80000$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $r (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{20000 x}{3} + 80000$ .

$- \frac{20000 x}{3} + 80000$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $80000$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{20000 x}{3} = - 80000$

Passaggio 5.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- \frac{3}{20000}$ .

$- \frac{3}{20000} (- \frac{20000 x}{3}) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Semplifica $- \frac{3}{20000} (- \frac{20000 x}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{20000}$ nel numeratore.

$\frac{- 3}{20000} (- \frac{20000 x}{3}) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.1.1.1.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{20000 x}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 3}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.1.1.1.3

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.1.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.1.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{20000} (- 20000 x) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $20000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.2.1

Scomponi $20000$ da $- 20000 x$ .

$\frac{- 1}{20000} (20000 (- x)) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{20000} (20000 (- x)) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- - x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.1.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica $- \frac{3}{20000} \cdot - 80000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $20000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{20000}$ nel numeratore.

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot - 80000$

Passaggio 5.4.2.1.1.2

Scomponi $20000$ da $- 80000$ .

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot (20000 (- 4))$

Passaggio 5.4.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot (20000 \cdot - 4)$

Passaggio 5.4.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = - 3 \cdot - 4$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$x = 12$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 12$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 12$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{20000}{3}$

Passaggio 9

$x = 12$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 12$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $12$ nell'espressione.

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 (4))) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Passaggio 10.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 \cdot 4)) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Passaggio 10.2.1.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$r (12) = (40000 + 10000 \cdot 4) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Passaggio 10.2.1.1.2

Moltiplica $10000$ per $4$ .

$r (12) = (40000 + 40000) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Passaggio 10.2.1.2

Somma $40000$ e $40000$ .

$r (12) = 80000 (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$r (12) = 80000 (30 - 12) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Passaggio 10.2.1.4

Sottrai $12$ da $30$ .

$r (12) = 80000 \cdot 18 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Passaggio 10.2.1.5

Moltiplica $80000$ per $18$ .

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Passaggio 10.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.6.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.6.1.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 (4))) \cdot 6$

Passaggio 10.2.1.6.1.2

Elimina il fattore comune.

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 6$

Passaggio 10.2.1.6.1.3

Riscrivi l'espressione.

$r (12) = 1440000 + (40000 + 10000 \cdot 4) \cdot 6$

Passaggio 10.2.1.6.2

Moltiplica $10000$ per $4$ .

$r (12) = 1440000 + (40000 + 40000) \cdot 6$

Passaggio 10.2.1.7

Somma $40000$ e $40000$ .

$r (12) = 1440000 + 80000 \cdot 6$

Passaggio 10.2.1.8

Moltiplica $80000$ per $6$ .

$r (12) = 1440000 + 480000$

Passaggio 10.2.2

Somma $1440000$ e $480000$ .

$r (12) = 1920000$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $1920000$ .

$y = 1920000$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $r (x) = (40000 + \frac{10000}{3} x) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)$ .

$(12, 1920000)$ è un massimo locale

Passaggio 12