Calcolo Esempi

$s (t) = \frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $25000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ rispetto a $t$ è $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$ .

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = e^{- t}$ e $g (t) = {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- t$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- t$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ .

$25000 \frac{- 1 \cdot ({(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.5.3.3

Riscrivi $- 1 {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ come $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 1 + 5 e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 5 e^{- t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.7.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.7.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.7.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 e^{- t}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.7.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Sposta $5$ alla sinistra di $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} (5 \cdot (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.7.6.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.8.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t - t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.10

Sottrai $t$ da $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.11

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.11.2

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da $- 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.11.3

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da $(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 1.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da ${(1 + 5 e^{- t})}^{4}$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.12.2

Elimina il fattore comune.

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.14

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \cdot 1}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.16

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.16.2

$25000$ e $\frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$ .

$\frac{25000 (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25000 ((- 1 \cdot 1 - (5 e^{- t})) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t} - (5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{25000 (- 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4.1.2

Riscrivi $- 1 e^{- t}$ come $- e^{- t}$ .

$\frac{25000 (- e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4.1.4

Moltiplica $e^{- t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.4.1.4.1

Sposta $e^{- t}$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 (e^{- t} e^{- t}))) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t - t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4.1.4.3

Sottrai $t$ da $- t$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- 2 t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4.1.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4.1.6

Moltiplica $- 5$ per $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4.1.7

Moltiplica $10$ per $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 250000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.4.2

Somma $- 125000 e^{- 2 t}$ e $250000 e^{- 2 t}$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 125000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 1.17.5

Riordina i termini.

$\frac{125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.17.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.6.1

Scomponi $25000$ da $125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.6.1.1

Scomponi $25000$ da $125000 e^{- 2 t}$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.17.6.1.2

Scomponi $25000$ da $- 25000 e^{- t}$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.17.6.1.3

Scomponi $25000$ da $25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.17.6.2

Riscrivi $e^{- 2 t}$ come ${(e^{- t})}^{2}$ .

$\frac{25000 (5 {(e^{- t})}^{2} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.17.6.3

Sia $u = e^{- t}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{- t}$ con $u$ .

$\frac{25000 (5 u^{2} - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.17.6.4

Scomponi $u$ da $5 u^{2} - u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.6.4.1

Scomponi $u$ da $5 u^{2}$ .

$\frac{25000 (u (5 u) - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.17.6.4.2

Scomponi $u$ da $- u$ .

$\frac{25000 (u (5 u) + u \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.17.6.4.3

Scomponi $u$ da $u (5 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{25000 (u (5 u - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.17.6.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{- t}$ .

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $25000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$ rispetto a $t$ è $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}]$ .

$s'' (t) = 25000 \frac{d}{d t} (\frac{e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}})$

Passaggio 2.2

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{({(5 e^{- t} + 1)}^{3})}^{2}})$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 e^{- t} + 1)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3 \cdot 2}})$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = e^{- t}$ e $g (t) = 5 e^{- t} - 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} - 1) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 e^{- t} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (\frac{d}{d t} (5 e^{- t}) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.5.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 e^{- t}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 \frac{d}{d t} (e^{- t}) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 e^{- t} (- \frac{d}{d t} t) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} \frac{d}{d t} t + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.7.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.7.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} + 0) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.7.6

Somma $- 5 e^{- t}$ e $0$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t}) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.8

Moltiplica $e^{- t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sposta $e^{- t}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} e^{- t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t - t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.8.3

Sottrai $t$ da $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- 2 t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.9

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 \cdot e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.10.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.11

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} (- \frac{d}{d t} t)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.11.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.11.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} \cdot - 1) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.11.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $(5 e^{- t} - 1) e^{- t}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - 1 \cdot ((5 e^{- t} - 1) e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.11.3.3

Riscrivi $- 1 (5 e^{- t} - 1)$ come $- (5 e^{- t} - 1)$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 5 e^{- t} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $5 e^{- t} + 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.12.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.12.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $5 e^{- t} + 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (3 {(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.13

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.13.2

Scomponi ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ da ${(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.2.1

Scomponi ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ da ${(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.13.2.2

Scomponi ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ da $- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1])$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) + {(5 e^{- t} + 1)}^{2} (- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.13.2.3

Scomponi ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ da ${(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) + {(5 e^{- t} + 1)}^{2} (- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1]))$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Passaggio 2.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Scomponi ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ da ${(5 e^{- t} + 1)}^{6}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} {(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.14.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.15

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 e^{- t} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.15.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 e^{- t}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 \frac{d}{d t} (e^{- t}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.16

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (\frac{d}{d u (4)} (e^{u_{4}}) \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.16.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ è $a^{u_{4}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (e^{u_{4}} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.16.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.17

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 e^{- t} (- \frac{d}{d t} t) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.17.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} \frac{d}{d t} t + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.17.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.17.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.17.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} + 0)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.17.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.6.1

Somma $- 5 e^{- t}$ e $0$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.17.6.2

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.18

Moltiplica $e^{- t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Sposta $e^{- t}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 (e^{- t} e^{- t}) (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.18.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- t - t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.18.3

Sottrai $t$ da $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Passaggio 2.19

$25000$ e $\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.1

Applica la proprietà distributiva.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} + (- (5 e^{- t}) + 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.2

Applica la proprietà distributiva.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.3

Applica la proprietà distributiva.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.4

Applica la proprietà distributiva.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.1.1

Moltiplica $e^{- t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.1.1.1

Sposta $e^{- t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 (e^{- t} e^{- t})) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t - t}) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.1.1.3

Sottrai $t$ da $- t$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.1.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.1.4

Moltiplica $e^{- t}$ per $1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.2

Sottrai $5 e^{- 2 t}$ da $- 5 e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.3

Espandi $(5 e^{- t} + 1) (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 1 (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- t} e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.1.2

Moltiplica $e^{- t}$ per $e^{- 2 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.4.1.2.1

Sposta $e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 (e^{- 2 t} e^{- t})) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- 2 t - t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.1.2.3

Sottrai $t$ da $- 2 t$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- 3 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.1.3

Moltiplica $5$ per $- 10$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.1.4

Moltiplica $e^{- t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.4.1.4.1

Sposta $e^{- t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 (e^{- t} e^{- t}) + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- t - t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.1.4.3

Sottrai $t$ da $- t$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.1.5

Moltiplica $- 10 e^{- 2 t}$ per $1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} - 10 e^{- 2 t} + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.1.6

Moltiplica $e^{- t}$ per $1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} - 10 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.4.2

Sottrai $10 e^{- 2 t}$ da $5 e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} - 5 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t}) + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.6.1

Moltiplica $- 50$ per $25000$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.6.2

Moltiplica $- 5$ per $25000$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.7

Moltiplica $e^{- 2 t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.5.1.7.1

Sposta $e^{- t}$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 (e^{- t} e^{- 2 t}) \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- t - 2 t} \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.7.3

Sottrai $2 t$ da $- t$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 3 t} \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.8

Moltiplica $5$ per $15$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (75 e^{- 3 t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.9

Moltiplica $75$ per $25000$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.10

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} + 25000 (- 15 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.1.11

Moltiplica $- 15$ per $25000$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} - 375000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.2

Somma $- 1250000 e^{- 3 t}$ e $1875000 e^{- 3 t}$ .

$s'' (t) = \frac{625000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} - 375000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.5.3

Sottrai $375000 e^{- 2 t}$ da $- 125000 e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{625000 e^{- 3 t} + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.6

Scomponi $25000$ da $625000 e^{- 3 t} + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.6.1

Scomponi $25000$ da $625000 e^{- 3 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.6.2

Scomponi $25000$ da $25000 e^{- t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t}) - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.6.3

Scomponi $25000$ da $- 500000 e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.6.4

Scomponi $25000$ da $25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t})$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.20.6.5

Scomponi $25000$ da $25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t} - 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $25000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ rispetto a $t$ è $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$ .

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$

Passaggio 4.1.2

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- t$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- t$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ .

$25000 \frac{- 1 \cdot ({(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.5.3.3

Riscrivi $- 1 {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ come $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 1 + 5 e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 5 e^{- t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.7.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.7.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.7.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 e^{- t}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.7.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.6.1

Sposta $5$ alla sinistra di $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} (5 \cdot (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.7.6.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.8.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t - t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.10

Sottrai $t$ da $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.11

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.11.2

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da $- 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.11.3

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da $(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Passaggio 4.1.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.12.1

Scomponi $1 + 5 e^{- t}$ da ${(1 + 5 e^{- t})}^{4}$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.14

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \cdot 1}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.16

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.16.2

$25000$ e $\frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$ .

$\frac{25000 (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25000 ((- 1 \cdot 1 - (5 e^{- t})) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t} - (5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{25000 (- 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.1.2

Riscrivi $- 1 e^{- t}$ come $- e^{- t}$ .

$\frac{25000 (- e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.1.4

Moltiplica $e^{- t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.4.1.4.1

Sposta $e^{- t}$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 (e^{- t} e^{- t}))) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t - t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.1.4.3

Sottrai $t$ da $- t$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- 2 t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.1.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.1.6

Moltiplica $- 5$ per $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.1.7

Moltiplica $10$ per $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 250000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.4.2

Somma $- 125000 e^{- 2 t}$ e $250000 e^{- 2 t}$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 125000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.5

Riordina i termini.

$\frac{125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.6.1

Scomponi $25000$ da $125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.6.1.1

Scomponi $25000$ da $125000 e^{- 2 t}$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.6.1.2

Scomponi $25000$ da $- 25000 e^{- t}$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.6.1.3

Scomponi $25000$ da $25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.6.2

Riscrivi $e^{- 2 t}$ come ${(e^{- t})}^{2}$ .

$\frac{25000 (5 {(e^{- t})}^{2} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.6.3

Sia $u = e^{- t}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{- t}$ con $u$ .

$\frac{25000 (5 u^{2} - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.6.4

Scomponi $u$ da $5 u^{2} - u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.6.4.1

Scomponi $u$ da $5 u^{2}$ .

$\frac{25000 (u (5 u) - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.6.4.2

Scomponi $u$ da $- u$ .

$\frac{25000 (u (5 u) + u \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.6.4.3

Scomponi $u$ da $u (5 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{25000 (u (5 u - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.17.6.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{- t}$ .

$f' (t) = \frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $s (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- t} = 0$

$5 e^{- t} - 1 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $e^{- t}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $e^{- t}$ uguale a $0$ .

$e^{- t} = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Risolvi $e^{- t} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- t}) = \ln (0)$

Passaggio 5.3.2.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.3.2.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- t} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.3.3

Imposta $5 e^{- t} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $5 e^{- t} - 1$ uguale a $0$ .

$5 e^{- t} - 1 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Risolvi $5 e^{- t} - 1 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 e^{- t} = 1$

Passaggio 5.3.3.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 e^{- t} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 e^{- t} = 1$ .

$\frac{5 e^{- t}}{5} = \frac{1}{5}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 e^{- t}}{5} = \frac{1}{5}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $e^{- t}$ per $1$ .

$e^{- t} = \frac{1}{5}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- t}) = \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 5.3.3.2.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.4.1

Espandi $\ln (e^{- t})$ spostando $- t$ fuori dal logaritmo.

$- t \ln (e) = \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 5.3.3.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 5.3.3.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- t = \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 5.3.3.2.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t = \ln (\frac{1}{5})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t = \ln (\frac{1}{5})$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.5.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.5.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 5.3.3.2.5.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (\frac{1}{5})$ come $- \ln (\frac{1}{5})$ .

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) = 0$ vera.

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = - \ln (\frac{1}{5})$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{25000 (25 e^{- 3 (- \ln (\frac{1}{5}))} + e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 3 (- \ln (\frac{1}{5}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{25000 (25 e^{3 \ln (\frac{1}{5})} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.2

Semplifica $3 \ln (\frac{1}{5})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{25000 (25 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{3})} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{25000 (25 {(\frac{1}{5})}^{3} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{25000 (25 \frac{1^{3}}{5^{3}} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{25000 (25 \frac{1}{5^{3}} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{25000 (25 (\frac{1}{125}) + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.6

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\frac{25000 (25 \frac{1}{25 (5)} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25000 (25 \frac{1}{25 \cdot 5} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $- - \ln (\frac{1}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{1 \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.7.2

Moltiplica $\ln (\frac{1}{5})$ per $1$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{\ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.8

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.9

Moltiplica $- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{2 \ln (\frac{1}{5})})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.9.2

Semplifica $2 \ln (\frac{1}{5})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{2})})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.10

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 {(\frac{1}{5})}^{2})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.11

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 \frac{1^{2}}{5^{2}})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 \frac{1}{5^{2}})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.13

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 (\frac{1}{25}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.14

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.14.1

Scomponi $5$ da $- 20$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 (- 4) \frac{1}{25})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.14.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 \cdot - 4 \frac{1}{5 \cdot 5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.14.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 \cdot - 4 \frac{1}{5 \cdot 5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.14.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 4 (\frac{1}{5}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.15

$- 4$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{- 4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25000 (\frac{1 + 1}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{25000 (\frac{2}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25000 \frac{2 - 4}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.20

Sottrai $4$ da $2$ .

$\frac{25000 (\frac{- 2}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{25000 \cdot - 1 \frac{2}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.22

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.22.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (25000 (\frac{2}{5}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.22.2

$25000$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- \frac{25000 \cdot 2}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.22.3

Moltiplica $25000$ per $2$ .

$\frac{- \frac{50000}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.23

Dividi $50000$ per $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $- - \ln (\frac{1}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{1 \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $\ln (\frac{1}{5})$ per $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{\ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 (\frac{1}{5}) + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 (\frac{1}{5}) + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(1 + 1)}^{4}}$

Passaggio 9.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{2^{4}}$

Passaggio 9.2.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{16}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $10000$ .

$\frac{- 10000}{16}$

Passaggio 9.3.2

Dividi $- 10000$ per $16$ .

$- 625$

Passaggio 10

$t = - \ln (\frac{1}{5})$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = - \ln (\frac{1}{5})$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = - \ln (\frac{1}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- \ln (\frac{1}{5})$ nell'espressione.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))}}{{(1 + 5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))})}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sposta $e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $- - \ln (\frac{1}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{1 \ln (\frac{1}{5})})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Passaggio 11.2.2.1.2

Moltiplica $\ln (\frac{1}{5})$ per $1$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{\ln (\frac{1}{5})})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Passaggio 11.2.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 (\frac{1}{5}))}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Passaggio 11.2.2.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 (\frac{1}{5}))}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Passaggio 11.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 1)}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Passaggio 11.2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{2^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Passaggio 11.2.2.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Passaggio 11.2.2.6

Semplifica $- \ln (\frac{1}{5})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{- 1})}}$

Passaggio 11.2.2.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 {(\frac{1}{5})}^{- 1}}$

Passaggio 11.2.2.8

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 \cdot 5}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{20}$

Passaggio 11.2.3.2

Dividi $25000$ per $20$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = 1250$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $1250$ .

$y = 1250$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $s (t) = \frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ .

$(- \ln (\frac{1}{5}), 1250)$ è un massimo locale

Passaggio 13