Calcolo Esempi

$s (t) = \frac{2}{t + 2} - \frac{15}{{(t + 2)}^{2}} + 22$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{t + 2} - \frac{15}{{(t + 2)}^{2}} + 22$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{2}{t + 2}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{t + 2}$ come ${(t + 2)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $t + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t + 2$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [2])) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $- 15 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ come ${({(t + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 \frac{d}{d t} [{({(t + 2)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(t + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come ${(t + 2)}^{2}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(t + 2)}^{2}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $t + 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $t + 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + \frac{d}{d t} [2]))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 2)}^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.8.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{- 4} (t + 2)) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.12

Eleva $t + 2$ alla potenza di $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{- 4})) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.14

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{- 3}) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.3.15

Moltiplica $- 2$ per $- 15$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 1.4

Poiché $22$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $22$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + 0$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.5.3.3

$30$ e $\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.5.3.4

Somma $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ e $0$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{30}{{(t + 2)}^{3}}]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $- 2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ come ${({(t + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} {({(t + 2)}^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(t + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(t + 2)}^{2}$ .

$s'' (t) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d t} ({(t + 2)}^{2})) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$s'' (t) = - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} {(t + 2)}^{2}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(t + 2)}^{2}$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} {(t + 2)}^{2}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t + 2$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d t} (t + 2))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} (t + 2))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t + 2$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) \frac{d}{d t} (t + 2))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (2)))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + \frac{d}{d t} (2)))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$s'' (t) = - 2 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 2)}^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s'' (t) = - 2 (- {(t + 2)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$s'' (t) = - 2 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.9

Somma $1$ e $0$ .

$s'' (t) = - 2 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$s'' (t) = - 2 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2))) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$s'' (t) = - 2 (- 2 {(t + 2)}^{- 4} (t + 2)) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.12

Eleva $t + 2$ alla potenza di $1$ .

$s'' (t) = - 2 (- 2 ((t + 2) {(t + 2)}^{- 4})) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s'' (t) = - 2 (- 2 {(t + 2)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.14

Sottrai $4$ da $1$ .

$s'' (t) = - 2 (- 2 {(t + 2)}^{- 3}) + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + \frac{d}{d t} (\frac{30}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{30}{{(t + 2)}^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ rispetto a $t$ è $30 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}]$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 \frac{d}{d t} (\frac{1}{{(t + 2)}^{3}})$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}$ come ${({(t + 2)}^{3})}^{- 1}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 \frac{d}{d t} ({({(t + 2)}^{3})}^{- 1})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(t + 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come ${(t + 2)}^{3}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d t} ({(t + 2)}^{3}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d t} {(t + 2)}^{3})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con ${(t + 2)}^{3}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} {(t + 2)}^{3})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $t + 2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u (4)} ({u_{4}}^{3}) \frac{d}{d t} (t + 2)))$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ è $n {u_{4}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d t} (t + 2)))$

Passaggio 2.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $t + 2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 2)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 2)))$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 2)}^{2} (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (2))))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} (2))))$

Passaggio 2.3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {({(t + 2)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 2)}^{2} (1 + 0)))$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 2)}^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {(t + 2)}^{3 \cdot - 2} (3 {(t + 2)}^{2} (1 + 0)))$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {(t + 2)}^{- 6} (3 {(t + 2)}^{2} (1 + 0)))$

Passaggio 2.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {(t + 2)}^{- 6} (3 {(t + 2)}^{2} \cdot 1))$

Passaggio 2.3.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- {(t + 2)}^{- 6} (3 {(t + 2)}^{2}))$

Passaggio 2.3.11

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- 3 {(t + 2)}^{- 6} {(t + 2)}^{2})$

Passaggio 2.3.12

Moltiplica ${(t + 2)}^{- 6}$ per ${(t + 2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Sposta ${(t + 2)}^{2}$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- 3 ({(t + 2)}^{2} {(t + 2)}^{- 6}))$

Passaggio 2.3.12.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- 3 {(t + 2)}^{2 - 6})$

Passaggio 2.3.12.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} + 30 (- 3 {(t + 2)}^{- 4})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $- 3$ per $30$ .

$s'' (t) = 4 {(t + 2)}^{- 3} - 90 {(t + 2)}^{- 4}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$s'' (t) = 4 (\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}) - 90 {(t + 2)}^{- 4}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$s'' (t) = 4 (\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}) - 90 \frac{1}{{(t + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

$4$ e $\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}$ .

$s'' (t) = \frac{4}{{(t + 2)}^{3}} - 90 \frac{1}{{(t + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3.2

$- 90$ e $\frac{1}{{(t + 2)}^{4}}$ .

$s'' (t) = \frac{4}{{(t + 2)}^{3}} + \frac{- 90}{{(t + 2)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$s'' (t) = \frac{4}{{(t + 2)}^{3}} - \frac{90}{{(t + 2)}^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t + 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{2}{t + 2}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{t + 2}$ come ${(t + 2)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $t + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t + 2$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [2])) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (- {(t + 2)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{15}{{(t + 2)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $- 15 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}]$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ come ${({(t + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 \frac{d}{d t} [{({(t + 2)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(t + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come ${(t + 2)}^{2}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(t + 2)}^{2}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $t + 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $t + 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) \frac{d}{d t} [t + 2])) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + \frac{d}{d t} [2]))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {({(t + 2)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 2)}^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.8.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2) \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- {(t + 2)}^{- 4} (2 (t + 2))) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{- 4} (t + 2)) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.12

Eleva $t + 2$ alla potenza di $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{- 4})) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.14

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} - 15 (- 2 {(t + 2)}^{- 3}) + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.3.15

Moltiplica $- 2$ per $- 15$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + \frac{d}{d t} [22]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $22$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $22$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 2 {(t + 2)}^{- 2} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + 0$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + 30 {(t + 2)}^{- 3} + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 30 \frac{1}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.5.3.3

$30$ e $\frac{1}{{(t + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} + 0$

Passaggio 4.1.5.3.4

Somma $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ e $0$ .

$f' (t) = - \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $s (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

${(t + 2)}^{2}, {(t + 2)}^{3}, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 5.2.5

I fattori di $t + 2$ sono $(t + 2) \cdot (t + 2)$ , che corrisponde a $t + 2$ moltiplicato per se stesso $2$ volte.

$(t + 2) = (t + 2) \cdot (t + 2)$

$(t + 2)$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 5.2.6

I fattori di $t + 2$ sono $(t + 2) \cdot (t + 2) \cdot (t + 2)$ , che corrisponde a $t + 2$ moltiplicato per se stesso $3$ volte.

$(t + 2) = (t + 2) \cdot (t + 2) \cdot (t + 2)$

$(t + 2)$ si verifica $3$ volte.

Passaggio 5.2.7

Il minimo comune multiplo di ${(t + 2)}^{2}, {(t + 2)}^{3}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

${(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per ${(t + 2)}^{3}$ ciascun termine in $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} = 0$ per ${(t + 2)}^{3}$ .

$- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}} {(t + 2)}^{3} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(t + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} {(t + 2)}^{3} + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Scomponi ${(t + 2)}^{2}$ da ${(t + 2)}^{3}$ .

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} ({(t + 2)}^{2} (t + 2)) + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{{(t + 2)}^{2}} ({(t + 2)}^{2} (t + 2)) + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (t + 2) + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 t - 2 \cdot 2 + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 2 t - 4 + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di ${(t + 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 t - 4 + \frac{30}{{(t + 2)}^{3}} {(t + 2)}^{3} = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 t - 4 + 30 = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $- 4$ e $30$ .

$- 2 t + 26 = 0 {(t + 2)}^{3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0$ per ${(t + 2)}^{3}$ .

$- 2 t + 26 = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai $26$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 t = - 26$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 t = - 26$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 t = - 26$ .

$\frac{- 2 t}{- 2} = \frac{- 26}{- 2}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 t}{- 2} = \frac{- 26}{- 2}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{- 26}{- 2}$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Dividi $- 26$ per $- 2$ .

$t = 13$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(t + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Poni $t + 2$ uguale a $0$ .

$t + 2 = 0$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 2$

Passaggio 6.3

Imposta il denominatore in $\frac{30}{{(t + 2)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(t + 2)}^{3} = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Poni $t + 2$ uguale a $0$ .

$t + 2 = 0$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 2$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = 13$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = 13$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4}{{((13) + 2)}^{3}} - \frac{90}{{((13) + 2)}^{4}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Somma $13$ e $2$ .

$\frac{4}{15^{3}} - \frac{90}{{((13) + 2)}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.2

Eleva $15$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{90}{{((13) + 2)}^{4}}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Somma $13$ e $2$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{90}{15^{4}}$

Passaggio 9.1.2.2

Eleva $15$ alla potenza di $4$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{90}{50625}$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di $90$ e $50625$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Scomponi $45$ da $90$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{45 (2)}{50625}$

Passaggio 9.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.1

Scomponi $45$ da $50625$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{45 \cdot 2}{45 \cdot 1125}$

Passaggio 9.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3375} - \frac{45 \cdot 2}{45 \cdot 1125}$

Passaggio 9.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3375} - \frac{2}{1125}$

Passaggio 9.2

Per scrivere $- \frac{2}{1125}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{2}{1125} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3375$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $\frac{2}{1125}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{2 \cdot 3}{1125 \cdot 3}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $1125$ per $3$ .

$\frac{4}{3375} - \frac{2 \cdot 3}{3375}$

Passaggio 9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 2 \cdot 3}{3375}$

Passaggio 9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{4 - 6}{3375}$

Passaggio 9.5.2

Sottrai $6$ da $4$ .

$\frac{- 2}{3375}$

Passaggio 9.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3375}$

Passaggio 10

$t = 13$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 13$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $13$ nell'espressione.

$s (13) = \frac{2}{(13) + 2} - \frac{15}{{((13) + 2)}^{2}} + 22$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Somma $13$ e $2$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15}{{((13) + 2)}^{2}} + 22$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Somma $13$ e $2$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15}{15^{2}} + 22$

Passaggio 11.2.1.2.2

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15}{225} + 22$

Passaggio 11.2.1.3

Elimina il fattore comune di $15$ e $225$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Scomponi $15$ da $15$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15 (1)}{225} + 22$

Passaggio 11.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.2.1

Scomponi $15$ da $225$ .

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 15} + 22$

Passaggio 11.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 15} + 22$

Passaggio 11.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s (13) = \frac{2}{15} - \frac{1}{15} + 22$

Passaggio 11.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$s (13) = 22 + \frac{2 - 1}{15}$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$s (13) = 22 + \frac{1}{15}$

Passaggio 11.2.3

Per scrivere $22$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$s (13) = 22 \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15}$

Passaggio 11.2.4

$22$ e $\frac{15}{15}$ .

$s (13) = \frac{22 \cdot 15}{15} + \frac{1}{15}$

Passaggio 11.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$s (13) = \frac{22 \cdot 15 + 1}{15}$

Passaggio 11.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Moltiplica $22$ per $15$ .

$s (13) = \frac{330 + 1}{15}$

Passaggio 11.2.6.2

Somma $330$ e $1$ .

$s (13) = \frac{331}{15}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $\frac{331}{15}$ .

$y = \frac{331}{15}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $s (t) = \frac{2}{t + 2} - \frac{15}{{(t + 2)}^{2}} + 22$ .

$(13, \frac{331}{15})$ è un massimo locale

Passaggio 13