Calcolo Esempi

$s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = {(t - 1)}^{3}$ e $g (t) = 3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 1.3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Passaggio 1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Passaggio 1.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Passaggio 1.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Passaggio 1.5.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Passaggio 1.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Passaggio 1.5.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

$3$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.3.2

$\frac{3}{12}$ e ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.3.1

Scomponi $3$ da $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 1.6.3.6

${(t - 1)}^{2}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Passaggio 1.6.3.7

Per scrivere $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 1.6.3.8

$\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Passaggio 1.6.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Passaggio 1.6.3.10

$4$ e $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 1.6.3.11

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.11.1

Scomponi $4$ da $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 1.6.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.11.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 1.6.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 1.6.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 1.6.4

Riordina i termini.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.4.1

Scomponi $3$ da $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 1.6.5.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.1

Riscrivi ${(t - 1)}^{2}$ come $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.2

Espandi $(t - 1) (t - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.3.1.3

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.3.1.4

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.3.2

Sottrai $t$ da $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.5.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.5.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.5.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.5.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.5.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.5.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.6.1

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.6.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.6.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.6.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.7

Riscrivi ${(t - 1)}^{2}$ come $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.8

Espandi $(t - 1) (t - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.6.9.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.9.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.9.1.3

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.9.1.4

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.6.9.2

Sottrai $t$ da $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.7

Somma $- 6 t^{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.8

Sottrai $2 t$ da $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.9

Somma $t^{3}$ e $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.10

Sottrai $5 t^{2}$ da $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.11

Somma $3 t$ e $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Passaggio 1.6.5.12

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Passaggio 1.6.5.13

Somma $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ e $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Passaggio 1.6.5.14

Riscrivi $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.14.1

Scomponi $4 t$ da $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.14.1.1

Scomponi $4 t$ da $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Passaggio 1.6.5.14.1.2

Scomponi $4 t$ da $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Passaggio 1.6.5.14.1.3

Scomponi $4 t$ da $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Passaggio 1.6.5.14.1.4

Scomponi $4 t$ da $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Passaggio 1.6.5.14.1.5

Scomponi $4 t$ da $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Passaggio 1.6.5.14.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.14.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Passaggio 1.6.5.14.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Passaggio 1.6.5.14.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Passaggio 1.6.5.14.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = t$ e $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 1.6.6.2

Dividi $t {(t - 1)}^{2}$ per $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Passaggio 1.6.7

Riscrivi ${(t - 1)}^{2}$ come $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Passaggio 1.6.8

Espandi $(t - 1) (t - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Passaggio 1.6.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Passaggio 1.6.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.6.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.9.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.6.9.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.6.9.1.3

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.6.9.1.4

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.6.9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Passaggio 1.6.9.2

Sottrai $t$ da $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Passaggio 1.6.10

Applica la proprietà distributiva.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Passaggio 1.6.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.11.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.11.1.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.11.1.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Passaggio 1.6.11.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Passaggio 1.6.11.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Passaggio 1.6.11.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Passaggio 1.6.11.3

Moltiplica $t$ per $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Passaggio 1.6.12

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.12.1

Sposta $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Passaggio 1.6.12.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{3} - 2 t^{2} + t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2 t^{2}$ rispetto a $t$ è $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = {(t - 1)}^{3}$ e $g (t) = 3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 4.1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 4.1.3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Passaggio 4.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Passaggio 4.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Passaggio 4.1.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Passaggio 4.1.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Passaggio 4.1.5.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Passaggio 4.1.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.5.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.3.1

$3$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.3.2

$\frac{3}{12}$ e ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.3.3.1

Scomponi $3$ da $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Passaggio 4.1.6.3.6

${(t - 1)}^{2}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Passaggio 4.1.6.3.7

Per scrivere $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.1.6.3.8

$\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.6.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.6.3.10

$4$ e $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 4.1.6.3.11

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.3.11.1

Scomponi $4$ da $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 4.1.6.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.3.11.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 4.1.6.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 4.1.6.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Passaggio 4.1.6.4

Riordina i termini.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.1

Usa il teorema binomiale.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.4.1

Scomponi $3$ da $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.1

Riscrivi ${(t - 1)}^{2}$ come $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.2

Espandi $(t - 1) (t - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.3.1.3

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.3.1.4

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.3.2

Sottrai $t$ da $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.5.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.5.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.5.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.5.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.5.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.5.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.6.1

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.6.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.6.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.6.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.7

Riscrivi ${(t - 1)}^{2}$ come $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.8

Espandi $(t - 1) (t - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.6.9.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.9.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.9.1.3

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.9.1.4

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.6.9.2

Sottrai $t$ da $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.7

Somma $- 6 t^{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.8

Sottrai $2 t$ da $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.9

Somma $t^{3}$ e $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.10

Sottrai $5 t^{2}$ da $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.11

Somma $3 t$ e $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.12

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.13

Somma $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ e $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.14

Riscrivi $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.14.1

Scomponi $4 t$ da $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.14.1.1

Scomponi $4 t$ da $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.14.1.2

Scomponi $4 t$ da $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.14.1.3

Scomponi $4 t$ da $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.14.1.4

Scomponi $4 t$ da $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.14.1.5

Scomponi $4 t$ da $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.14.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.14.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.14.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Passaggio 4.1.6.5.14.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Passaggio 4.1.6.5.14.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = t$ e $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 4.1.6.6.2

Dividi $t {(t - 1)}^{2}$ per $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Passaggio 4.1.6.7

Riscrivi ${(t - 1)}^{2}$ come $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Passaggio 4.1.6.8

Espandi $(t - 1) (t - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Passaggio 4.1.6.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Passaggio 4.1.6.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.1.6.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.9.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.1.6.9.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.1.6.9.1.3

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.1.6.9.1.4

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.1.6.9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Passaggio 4.1.6.9.2

Sottrai $t$ da $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Passaggio 4.1.6.10

Applica la proprietà distributiva.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Passaggio 4.1.6.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.11.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.11.1.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.11.1.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Passaggio 4.1.6.11.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Passaggio 4.1.6.11.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Passaggio 4.1.6.11.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Passaggio 4.1.6.11.3

Moltiplica $t$ per $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Passaggio 4.1.6.12

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.12.1

Sposta $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Passaggio 4.1.6.12.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$f' (t) = t^{3} - 2 t^{2} + t$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $s (t)$ rispetto a $t$ è $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $t$ da $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $t$ da $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} - 2 t^{2} + t = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $t$ da $- 2 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $t$ da $t \cdot t^{2} + t (- 2 t)$ .

$t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.6

Scomponi $t$ da $t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = t$ e $b = 1$ .

$t {(t - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$t = 0$

${(t - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $t$ uguale a $0$ .

$t = 0$

Passaggio 5.5

Imposta ${(t - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta ${(t - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(t - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi ${(t - 1)}^{2} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Poni $t - 1$ uguale a $0$ .

$t - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $t {(t - 1)}^{2} = 0$ vera.

$t = 0, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = 0, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0 + 0 + 1$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 1$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 10

$t = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0$ nell'espressione.

$s (0) = \frac{{((0) - 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (0 + 1)}{12}$

Passaggio 11.2.1.3

Somma $0$ e $1$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 1}{12}$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$s (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{12}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$s (0) = \frac{- 1}{12}$

Passaggio 11.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$s (0) = - \frac{1}{12}$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $t = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 1$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 1$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 1$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$3 - 4 + 1$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $4$ da $3$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $t$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $t^{3} - 2 t^{2} + t$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 2$ nell'espressione.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Passaggio 14.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Passaggio 14.2.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.2.1

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $1$ .

$s' (- 2) = - 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} - 2$

Passaggio 14.2.2.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{1 + 2} - 2$

Passaggio 14.2.2.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{3} - 2$

Passaggio 14.2.2.2.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 8 - 2$

Passaggio 14.2.2.3

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.3.1

Sottrai $8$ da $- 8$ .

$s' (- 2) = - 16 - 2$

Passaggio 14.2.2.3.2

Sottrai $2$ da $- 16$ .

$s' (- 2) = - 18$

Passaggio 14.2.2.4

La risposta finale è $- 18$ .

$- 18$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.5$ , dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata prima $t^{3} - 2 t^{2} + t$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0.5$ nell'espressione.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Passaggio 14.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.1

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Passaggio 14.3.2.2.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 \cdot 0.25 + 0.5$

Passaggio 14.3.2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $0.25$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 0.5 + 0.5$

Passaggio 14.3.2.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.3.1

Sottrai $0.5$ da $0.125$ .

$s' (0.5) = - 0.375 + 0.5$

Passaggio 14.3.2.3.2

Somma $- 0.375$ e $0.5$ .

$s' (0.5) = 0.125$

Passaggio 14.3.2.4

La risposta finale è $0.125$ .

$0.125$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $t^{3} - 2 t^{2} + t$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $t$ con $4$ nell'espressione.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Passaggio 14.4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$s' (4) = 64 - 2 {(4)}^{2} + 4$

Passaggio 14.4.2.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$s' (4) = 64 - 2 \cdot 16 + 4$

Passaggio 14.4.2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$s' (4) = 64 - 32 + 4$

Passaggio 14.4.2.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.3.1

Sottrai $32$ da $64$ .

$s' (4) = 32 + 4$

Passaggio 14.4.2.3.2

Somma $32$ e $4$ .

$s' (4) = 36$

Passaggio 14.4.2.4

La risposta finale è $36$ .

$36$

Passaggio 14.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $t = 0$ , allora $t = 0$ è un minimo locale.

$t = 0$ è un minimo locale

Passaggio 14.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $t = 1$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 14.7

Questi sono gli estremi locali per $s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ .

$t = 0$ è un minimo locale

Passaggio 15