Calcolo Esempi

$p (x) = \frac{800}{x + 3} - 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{800}{x + 3} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{800}{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x + 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $800$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{800}{x + 3}$ rispetto a $x$ è $800 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3}]$ .

$800 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$800 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$800 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$800 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$800 (- {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$800 (- {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$800 (- {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$800 (- {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$800 (- {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$800 (- {(x + 3)}^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $800$ .

$- 800 {(x + 3)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 800 {(x + 3)}^{- 2} + 0$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 800 \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + 0$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

$- 800$ e $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 800}{{(x + 3)}^{2}} + 0$

Passaggio 1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{800}{{(x + 3)}^{2}} + 0$

Passaggio 1.4.2.3

Somma $- \frac{800}{{(x + 3)}^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{800}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $- 800$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{800}{{(x + 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 800 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ .

$p'' (x) = - 800 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ come ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$p'' (x) = - 800 \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p'' (x) = - 800 \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p'' (x) = - 800 \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{- 2}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$p'' (x) = - 800 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$p'' (x) = - 800 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$p'' (x) = - 800 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 800$ .

$p'' (x) = 1600 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$p'' (x) = 1600 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$p'' (x) = 1600 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$p'' (x) = 1600 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$p'' (x) = 1600 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $1600$ per $1$ .

$p'' (x) = 1600 {(x + 3)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$p'' (x) = 1600 (\frac{1}{{(x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.4.2

$1600$ e $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$p'' (x) = \frac{1600}{{(x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{800}{{(x + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6