Calcolo Esempi

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3 i$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 \sin (t) i$ rispetto a $t$ è $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $\cos (t)$ .

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 5 j$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5 \cos (3 t) j$ rispetto a $t$ è $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 3$ per $- 5$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $k$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $e^{- 7 t} k$ rispetto a $t$ è $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 7 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Passaggio 1.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Passaggio 1.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Passaggio 1.4.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 7 t$ rispetto a $t$ è $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Passaggio 1.4.6

Sposta $- 7$ alla sinistra di $e^{- 7 t}$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riordina i termini.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

Passaggio 1.5.2

Riordina i fattori in $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3 i$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 i \cos (t)$ rispetto a $t$ è $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $15 j$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $15 j \sin (3 t)$ rispetto a $t$ è $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 t)$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $3$ per $15$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 7 k$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 7 k e^{- 7 t}$ rispetto a $t$ è $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 7 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 7 t$ rispetto a $t$ è $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Passaggio 2.4.6

Sposta $- 7$ alla sinistra di $e^{- 7 t}$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

Passaggio 4

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Passaggio 5

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $0$ per $- 3$ .

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $0$ per $i$ .

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Passaggio 5.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $45$ per $1$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Passaggio 5.1.7

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

Passaggio 5.1.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

Passaggio 5.1.9

Moltiplica $49$ per $1$ .

$0 + 45 j + 49 k$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $45 j$ .

$45 j + 49 k$

Passaggio 6

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 7