Calcolo Esempi

$k (x) = x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{2 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.9

$e^{2 x}$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Riordina i termini.

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 1.10.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

$k'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.10.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.11

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.12

$e^{2 x}$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $2$ per $1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2)) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.14

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.13

$e^{2 x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $2$ per $1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \cdot 2))$

Passaggio 2.3.16

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

$2$ e $\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{2 (e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$k'' (x) = \frac{6 (e^{2 x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.3

Scomponi $2$ da $6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$k'' (x) = \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.4.4

Dividi $3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 (x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.6

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{2 (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Passaggio 2.4.3.8

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} \cdot (2 e^{2 x})$

Passaggio 2.4.3.9

$2$ e $\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 3)}{2} \cdot e^{2 x}$

Passaggio 2.4.3.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot e^{2 x}$

Passaggio 2.4.3.11

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$

Passaggio 2.4.3.12

Scomponi $2$ da $6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2}$

Passaggio 2.4.3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.13.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 (1)}$

Passaggio 2.4.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{1}$

Passaggio 2.4.3.13.4

Dividi $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ per $1$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$

Passaggio 2.4.3.14

Somma $3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ e $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.14.1

Sposta $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.3.14.2

Somma $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ e $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$k'' (x) = 6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 4.1.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.1.9

$e^{2 x}$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 4.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Riordina i termini.

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 4.1.10.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $k (x)$ rispetto a $x$ è $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Passaggio 5.2

Trova un fattore comune $e^{2 x} x$ che è presente in ciascun termine.

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $u$ a $e^{2 x} x$ .

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}} = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sposta $\frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$ sul lato destro dell'equazione sottraendolo a entrambi i lati.

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica $2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Applica la regola del prodotto a $e x^{2 x}$ .

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} {(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Scomponi $2 x$ da $4 x$ .

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x (2)}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x \cdot 2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Passaggio 5.4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Passaggio 5.4.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Somma $\frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.2

Per scrivere $2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ .

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} \cdot \frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.3

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ e $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}})}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1

Moltiplica $e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ per $e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1.1

Sposta $e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x} + \frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.4

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 1 + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.5

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.6

Elimina il fattore comune di $8 x + 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1.6.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.6.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.6.3

Scomponi $4$ da $4 (2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.6.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1.6.4.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 (x)}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.1.6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2

Moltiplica $x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ per $x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.1

Sposta $x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} (x^{\frac{4 x + 1}{2}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1}{2} + \frac{4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.4

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 1 + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.5

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6

Elimina il fattore comune di $8 x + 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.6.1

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.3

Scomponi $2$ da $2 (4 x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 (1)}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 \cdot 1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 2}{1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.2.6.4.4

Dividi $4 x + 2$ per $1$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.4.3.5.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.5

Sostituisci $x$ a $u$ .

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ da $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1

Sposta $e^{2 x}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Passaggio 5.6.1.1.2

Sposta $e^{2 x}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

Passaggio 5.6.1.2

Scomponi $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x}$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

Passaggio 5.6.1.3

Scomponi $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ da $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2}) = 0$

Passaggio 5.6.1.4

Scomponi $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ da $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2}$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{3}{2}) = 0$

Passaggio 5.6.2

Dividi $2$ per $2$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Passaggio 5.6.3

Semplifica.

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Passaggio 5.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Passaggio 5.8

Imposta $e^{2 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Imposta $e^{2 x}$ uguale a $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Passaggio 5.8.2

Risolvi $e^{2 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.8.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.8.2.3

Non c'è soluzione per $e^{2 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.9

Imposta $x^{\frac{1}{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Imposta $x^{\frac{1}{2}}$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 5.9.2

Risolvi $x^{\frac{1}{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.9.2.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.9.2.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.9.2.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 5.9.2.2.1.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 5.9.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.10

Imposta $2 x + \frac{3}{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Imposta $2 x + \frac{3}{2}$ uguale a $0$ .

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Passaggio 5.10.2

Risolvi $2 x + \frac{3}{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.1

Sottrai $\frac{3}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 5.10.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{3}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{3}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Passaggio 5.10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Passaggio 5.10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Passaggio 5.10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.10.2.2.3.2

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.10.2.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 5.11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{3}{4}$

Passaggio 5.12

Escludi le soluzioni che non rendono $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x^{1}}}{2}$

Passaggio 6.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 6.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} < 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x < 0$

Passaggio 6.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{1}}$

Passaggio 9.3

Calcola l'esponente.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{0}$

Passaggio 9.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11