Calcolo Esempi

$h (y) = \arctan (y^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \arctan (y)$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

Passaggio 1.2.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.2.3.1

$2$ e $\frac{1}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

Passaggio 1.2.3.2

$\frac{2}{1 + y^{4}}$ e $y$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

Passaggio 1.2.3.3

Riordina i termini.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ .

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = y^{4} + 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $y^{4} + 1$ per $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{4} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.6.1

Somma $4 y^{3}$ e $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $y$ per $y^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.1

Sposta $y^{3}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $y^{3}$ per $y$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4.3

Somma $3$ e $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.5

Sottrai $4 y^{4}$ da $y^{4}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.6

$2$ e $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

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Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.2.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.3

Scomponi $2$ da $- 6 y^{4} + 2$ .

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Passaggio 2.7.3.1

Scomponi $2$ da $- 6 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.3.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.5

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.7

Riscrivi $- (3 y^{4} - 1)$ come $- 1 (3 y^{4} - 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 y = 0$

Passaggio 5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 0$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$y = 0$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $y = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.1.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Passaggio 7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{- 2}{1}$

Passaggio 7.3.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$- - 2$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2$

Passaggio 8

$y = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$y = 0$ è un minimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $y = 0$ .

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Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $y$ con $0$ nell'espressione.

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 9.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h (0) = \arctan (0)$

Passaggio 9.2.2

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$h (0) = 0$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 10

Questi sono gli estremi locali per $h (y) = \arctan (y^{2})$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 11