Calcolo Esempi

$x \sqrt[3]{x - 6}$

Passaggio 1

Scrivi $x \sqrt[3]{x - 6}$ come funzione.

$f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 6}$ come ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8.3

Sposta ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8.4

$\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.11

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Passaggio 2.14

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.15

Per scrivere ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.16

${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.18

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Sposta ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.18.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.18.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.18.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.19

Semplifica ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.20

Sposta $3$ alla sinistra di $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.21.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.1

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.21.2.2

Somma $x$ e $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.21.3

Scomponi $2$ da $4 x - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.3.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.21.3.2

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.21.3.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 9$ e $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.9.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2 {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.9.3

Sposta ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.12

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.13.2

Moltiplica $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.13.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + (- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.3

Moltiplica $- 2 x + 9$ per $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{(- 2 x + 9) \cdot 2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $- 2 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{2 \cdot (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.5

Moltiplica $2 \frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.5.1

$2$ e $\frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (2 (- 2 x + 9))}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.6

Per scrivere $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.7

$4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9

Riscrivi $\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.9.1

Scomponi $4$ da $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.9.1.1

Scomponi $4$ da $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.1.2

Scomponi $4$ da $4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.3

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.3.9.3.1

Sposta ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.3.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.4

Semplifica $3 {(x - 6)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x + 3 \cdot - 6 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.6

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x - 18 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.7

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 18 + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.3.9.8

Somma $- 18$ e $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.4.1

Riscrivi $\frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.4.2

Moltiplica $\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 3.14.4.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.4.4

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.4.4.1

Sposta ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 ({(x - 6)}^{\frac{4}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 3.14.4.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.14.4.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Passaggio 3.14.4.4.4

Somma $4$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 6}$ come ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 5.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.8.3

Sposta ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.8.4

$\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.11

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.12.2

Moltiplica $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Passaggio 5.1.14

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.1.15

Per scrivere ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.16

${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.18

Moltiplica ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.18.1

Sposta ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.18.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.18.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.18.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.19

Semplifica ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.20

Sposta $3$ alla sinistra di $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.21.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.21.2.1

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.21.2.2

Somma $x$ e $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.21.3

Scomponi $2$ da $4 x - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.21.3.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.21.3.2

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.21.3.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x) + 2 (- 9)$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (2 x - 9) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x - 9) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x - 9) = 0$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.3.1.2.1.2

Dividi $2 x - 9$ per $1$ .

$2 x - 9 = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$2 x - 9 = 0$

Passaggio 6.3.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 9$

Passaggio 6.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 9$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 6.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}$ come ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(x - 6)}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 {(x - 6)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ .

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.1.2.1.2

Dividi ${(x - 6)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.2

Poni $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 7.3.3.3

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{9}{2}, 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{9}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ((\frac{9}{2}) - 9)}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi $9$ da $4 ((\frac{9}{2}) - 9)$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $9$ da $9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 ({((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1)}{{((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.2

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4 \frac{1 - 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.4.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{4 (\frac{- 1}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.6

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.6.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (4 (\frac{1}{2}))}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.6.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{4}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3.7

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.2

$- 6$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.4.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 12}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.4.2

Sottrai $12$ da $9$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{- 3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 10.4.7

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 10.4.8

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 10.4.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 10.4.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{5} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 10.4.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 10.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 10.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 10.7

Moltiplica $- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.7.2

$2$ e $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.7.3

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{5}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.3.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.7.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.7.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.7.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{3 + 5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.7.3.4

Somma $3$ e $5$ .

$\frac{2^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11

$x = \frac{9}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{9}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{9}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{9}{2}) = (\frac{9}{2}) \sqrt[3]{(\frac{9}{2}) - 6}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 12.2.2

$- 6$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 12.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 6 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 12.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 12}{2}}$

Passaggio 12.2.4.2

Sottrai $12$ da $9$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 3}{2}}$

Passaggio 12.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 12.2.6

Riscrivi $- \frac{3}{2}$ come ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.6.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{3}{2})}$

Passaggio 12.2.6.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{3}{2})}$

Passaggio 12.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

Passaggio 12.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

Passaggio 12.2.9

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}})$

Passaggio 12.2.10

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))$

Passaggio 12.2.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Passaggio 12.2.11.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Passaggio 12.2.11.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})$

Passaggio 12.2.11.4

Somma $1$ e $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})$

Passaggio 12.2.11.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Passaggio 12.2.11.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Passaggio 12.2.11.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

Passaggio 12.2.11.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

Passaggio 12.2.11.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

Passaggio 12.2.11.5.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

Passaggio 12.2.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.12.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})$

Passaggio 12.2.12.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2})$

Passaggio 12.2.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.13.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2})$

Passaggio 12.2.13.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$

Passaggio 12.2.14

Moltiplica $\frac{9}{2} (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.14.1

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.2.14.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

Passaggio 12.2.15

La risposta finale è $- \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 6$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 {((6) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{5}}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

Passaggio 14.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

Passaggio 14.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{9}{2})$ nella derivata prima $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{2 (2 (0) - 9)}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scomponi $3$ da $2 (2 (0) - 9)$ .

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 ({((0) - 6)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = \frac{2 (2 \cdot (0) - 3)}{{((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (0 - 3)}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.3.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.1

Sottrai $6$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (0) = \frac{- 6}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.5

Sposta ${(- 6)}^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = - 6 {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.2.6

Moltiplica $- 6$ per ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.6.1

Moltiplica $- 6$ per ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.6.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $1$ .

$f' (0) = (- 6) {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.2.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (0) = {(- 6)}^{1 - \frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.2.6.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Passaggio 15.2.2.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3 - 2}{3}}$

Passaggio 15.2.2.6.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 15.2.2.7

La risposta finale è ${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $5$ , dell'intervallo $(\frac{9}{2}, 6)$ nella derivata prima $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \frac{2 (2 (5) - 9)}{3 {((5) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (5) = \frac{2 (10 - 9)}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.1.2

Sottrai $9$ da $10$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1

Sottrai $6$ da $5$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.3.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 15.3.2.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Passaggio 15.3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Passaggio 15.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3}$

Passaggio 15.3.2.4

La risposta finale è $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $8$ , dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata prima $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f' (8) = \frac{2 (2 (8) - 9)}{3 {((8) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f' (8) = \frac{2 (16 - 9)}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.2

Sottrai $9$ da $16$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1

Sottrai $6$ da $8$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$f' (8) = \frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.3

La risposta finale è $\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{9}{2}$ , allora $x = \frac{9}{2}$ è un minimo locale.

$x = \frac{9}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 6$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$ .

$x = \frac{9}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 16