Calcolo Esempi

$x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ come funzione.

$f (x) = x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 8 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.3

Sposta ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7.4

$\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.13.2

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.13.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.13.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{- x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.13.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Passaggio 2.15

Moltiplica ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.16

Per scrivere ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.17

${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.19

Moltiplica ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.19.1

Sposta ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.19.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.19.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.20

Semplifica ${(8 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (8 - x) \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.21

Sposta $3$ alla sinistra di $8 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (8 - x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x + 3 \cdot 8 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.1.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{- x + 24 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- x + 24 - 3 x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.2.2

Sottrai $3 x$ da $- x$ .

$\frac{- 4 x + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.3

Scomponi $4$ da $- 4 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.3.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.3.2

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.3.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.5

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.7

Riscrivi $- (x - 6)$ come $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 6}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 6$ e $g (x) = {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 8 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.9.2

$\frac{2}{3}$ e ${(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2 {(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.9.3

Sposta ${(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.11

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.12

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 1 (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.14.2

Moltiplica $x - 6$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 1}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.16

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Moltiplica $x - 6$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.16.2

Moltiplica $\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ per $\frac{4}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})) \cdot 4}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Passaggio 3.16.3

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Passaggio 3.16.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 \cdot {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.2.1

Scomponi $4$ da $4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.1.2

Scomponi $4$ da $4 (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.1.3

Scomponi $4$ da $4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.2

Moltiplica $x - 6$ per $\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{(x - 6) \cdot 2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 6$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.4

Per scrivere ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.5

${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7

Riscrivi $\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.2.7.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.2

Moltiplica ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.2.7.2.1

Sposta ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 ({(8 - x)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.2.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 (8 - x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.3

Semplifica $3 {(8 - x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 (8 - x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 \cdot 8 + 3 (- x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.5

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 + 3 (- x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 6}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.8

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 x - 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.9

Sottrai $12$ da $24$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{- 3 x + 2 x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.2.7.10

Somma $- 3 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{- x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.1

$4$ e $\frac{- x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.2

Riscrivi $\frac{\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 3.17.3.3

Moltiplica $\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 3.17.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.5

Moltiplica ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.3.5.1

Sposta ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 ({(8 - x)}^{\frac{4}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 3.17.3.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Passaggio 3.17.3.5.4

Somma $4$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.5

Riscrivi $12$ come $- 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x - 12))}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.7

Riscrivi $- (x - 12)$ come $- 1 (x - 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (x - 12))}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.17.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 3.17.10

Moltiplica $\frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 8 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7.3

Sposta ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.7.4

$\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.13.2

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.13.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.13.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.13.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{- x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.13.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Passaggio 5.1.15

Moltiplica ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.1.16

Per scrivere ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.17

${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.19

Moltiplica ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.19.1

Sposta ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.19.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.19.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.20

Semplifica ${(8 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (8 - x) \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.21

Sposta $3$ alla sinistra di $8 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (8 - x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x + 3 \cdot 8 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.22.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.22.2.1.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{- x + 24 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- x + 24 - 3 x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.2.2

Sottrai $3 x$ da $- x$ .

$\frac{- 4 x + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.3

Scomponi $4$ da $- 4 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.22.3.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.3.2

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.3.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.5

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.7

Riscrivi $- (x - 6)$ come $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.1.22.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (x - 6) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x - 6) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x - 6) = 0$ .

$\frac{4 (x - 6)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x - 6)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.1.2.1.2

Dividi $x - 6$ per $1$ .

$x - 6 = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 6.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{4 (x - 6)}{3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}$ come ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(8 - x)}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 {(8 - x)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 {(8 - x)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 {(8 - x)}^{2} = 0$ .

$\frac{27 {(8 - x)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 {(8 - x)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.1.2.1.2

Dividi ${(8 - x)}^{2}$ per $1$ .

${(8 - x)}^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

${(8 - x)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.3.2

Poni $8 - x$ uguale a $0$ .

$8 - x = 0$

Passaggio 7.3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 8$

Passaggio 7.3.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 8$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 7.3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 7.3.3.3.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 7.3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x = 8$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 6, 8$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 6$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ((6) - 12)}{9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi $3$ da $4 ((6) - 12)$ .

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $3$ da $9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{3 (3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{3 (3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (2 - 4)}{3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.3

Sottrai $4$ da $2$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 {(8 - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.4.2

Sottrai $6$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{- 8}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 11

$x = 6$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 6$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = (6) {(8 - (6))}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f (6) = 6 {(8 - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $6$ da $8$ .

$f (6) = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 {(8 - (8))}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 {(8 - 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.1.2

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14.1.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{5}}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{0}$

Passaggio 14.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{4 ((8) - 12)}{0}$

Passaggio 14.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 6) \cup (6, 8) \cup (8, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 6)$ nella derivata prima $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - \frac{4 ((0) - 6)}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scomponi $3$ da $4 ((0) - 6)$ .

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 ({(8 - (0))}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = - \frac{4 (0 - 2)}{{(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $2$ da $0$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{{(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.1

Sottrai $0$ da $8$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.4.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.2.4.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.2.2.4.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 15.2.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{2}}$

Passaggio 15.2.2.4.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Passaggio 15.2.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.5.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f' (0) = - \frac{- 8}{4}$

Passaggio 15.2.2.5.2

Dividi $- 8$ per $4$ .

$f' (0) = 2$

Passaggio 15.2.2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (0) = 2$

Passaggio 15.2.2.6

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $7$ , dell'intervallo $(6, 8)$ nella derivata prima $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = - \frac{4 ((7) - 6)}{3 {(8 - (7))}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Sottrai $6$ da $7$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 {(8 - (7))}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 {(8 - 7)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.2

Sottrai $7$ da $8$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Passaggio 15.3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (7) = - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Passaggio 15.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (7) = - \frac{4}{3}$

Passaggio 15.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $10$ , dell'intervallo $(8, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f' (10) = - \frac{4 ((10) - 6)}{3 {(8 - (10))}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Sottrai $6$ da $10$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(8 - (10))}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(8 - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2.2

Sottrai $10$ da $8$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (10) = - \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.4

La risposta finale è $- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 6$ , allora $x = 6$ è un massimo locale.

$x = 6$ è un massimo locale

Passaggio 15.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 8$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 15.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x = 6$ è un massimo locale

Passaggio 16