Calcolo Esempi

$x (4 + \frac{50}{x - 8})$

Passaggio 1

Scrivi $x (4 + \frac{50}{x - 8})$ come funzione.

$f (x) = x (4 + \frac{50}{x - 8})$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{4 (x - 8)}{x - 8} + \frac{50}{x - 8})]$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x \frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}]$

Passaggio 2.2.2

$x$ e $\frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (4 (x - 8) + 50)}{x - 8}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x (4 (x - 8) + 50)$ e $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x (4 (x - 8) + 50)] - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 (x - 8) + 50$ .

$\frac{(x - 8) (x \frac{d}{d x} [4 (x - 8) + 50] + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 (x - 8) + 50$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]$ .

$\frac{(x - 8) (x (\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 (x - 8)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x - 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.6.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.7

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $50$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + 0) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.8.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (x \cdot 4 + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.8.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{(x - 8) (4 \cdot x + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + (4 (x - 8) + 50) \cdot 1) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.10

Moltiplica $4 (x - 8) + 50$ per $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.13

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.14.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5.14.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x + 4 \cdot - 8 + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{(x - 8) (8 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.3

Somma $- 32$ e $50$ .

$\frac{(x - 8) (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.4

Espandi $(x - 8) (8 x + 18)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (8 x + 18) - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x \cdot x + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{8 x^{2} + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5.1.3

Sposta $18$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 \cdot x - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5.1.4

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5.1.5

Moltiplica $- 8$ per $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5.2

Sottrai $64 x$ da $18 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x \cdot x - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.8

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.9

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x \cdot - 32 - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.10

Moltiplica $- 32$ per $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.11

Moltiplica $50$ per $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 46 x - 144 + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.3

Somma $- 46 x$ e $32 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x - 144 - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.4

Sottrai $50 x$ da $- 14 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 64 x - 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.5.1.2

Scomponi $4$ da $- 64 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 16 x) - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.5.1.3

Scomponi $4$ da $- 144$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.5.1.4

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.5.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x - 36)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 2.6.5.2

Scomponi $x^{2} - 16 x - 36$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 36$ e la cui somma è $- 16$ .

$- 18, 2$

Passaggio 2.6.5.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{4 ((x - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{2}}$

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}})$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 18) (x + 2)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{({(x - 8)}^{2})}^{2}})$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 8)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 18) (x + 2)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{2 \cdot 2}})$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 18) (x + 2)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 18$ e $g (x) = x + 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) \frac{d}{d x} (x + 2) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $x - 18$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 18))) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 18))) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.7

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) (1 + 0)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) \cdot 1) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8.2

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + x + 2) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 18 + 2) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.5.8.4

Somma $- 18$ e $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 8$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 8$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) (2 (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $x - 8$ da ${(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Scomponi $x - 8$ da ${(x - 8)}^{2} (2 x - 16)$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16)) - 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.7.2.2

Scomponi $x - 8$ da $- 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8])$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16)) + (x - 8) (- 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.7.2.3

Scomponi $x - 8$ da $(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16)) + (x - 8) (- 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} [x - 8]))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{{(x - 8)}^{4}})$

Passaggio 3.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Scomponi $x - 8$ da ${(x - 8)}^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{(x - 8) {(x - 8)}^{3}})$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{(x - 8) {(x - 8)}^{3}})$

Passaggio 3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{3}})$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{3}})$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{3}})$

Passaggio 3.11

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{3}})$

Passaggio 3.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) \cdot 1}{{(x - 8)}^{3}})$

Passaggio 3.12.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{3}})$

Passaggio 3.12.3

$4$ e $\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((x - 8) (2 x - 16) + (- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((x - 8) (2 x - 16)) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.1

Espandi $(x - 8) (2 x - 16)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x (2 x - 16) - 8 (2 x - 16)) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x (2 x) + x \cdot - 16 - 8 (2 x - 16)) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x (2 x) + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x \cdot x + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.3

Sposta $- 16$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 16 \cdot x - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 16 x - 16 x - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.1.5

Moltiplica $- 8$ per $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 16 x - 16 x + 128) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.2.2

Sottrai $16 x$ da $- 16 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 32 x + 128) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- 32 x) + 4 \cdot 128 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.4.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 4 (- 32 x) + 4 \cdot 128 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.4.2

Moltiplica $- 32$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 4 \cdot 128 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.4.3

Moltiplica $4$ per $128$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 18$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 ((- 2 x + 36) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.6

Espandi $(- 2 x + 36) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x (x + 2) + 36 (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 36 (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.7.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.7.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.7.1.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} - 4 x + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.7.1.3

Moltiplica $36$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} - 4 x + 36 x + 72)}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.7.2

Somma $- 4 x$ e $36 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} + 32 x + 72)}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (32 x) + 4 \cdot 72}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.9.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 4 (32 x) + 4 \cdot 72}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.9.2

Moltiplica $32$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 128 x + 4 \cdot 72}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.1.9.3

Moltiplica $4$ per $72$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 128 x + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.2

Combina i termini opposti in $8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 128 x + 288$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.2.1

Sottrai $8 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x + 512 + 0 + 128 x + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.2.2

Somma $- 128 x + 512$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x + 512 + 128 x + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.2.3

Somma $- 128 x$ e $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 512 + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.2.4

Somma $0$ e $512$ .

$f'' (x) = \frac{512 + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 3.13.3.3

Somma $512$ e $288$ .

$f'' (x) = \frac{800}{{(x - 8)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{4 (x - 8)}{x - 8} + \frac{50}{x - 8})]$

Passaggio 5.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x \frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}]$

Passaggio 5.1.2.2

$x$ e $\frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (4 (x - 8) + 50)}{x - 8}]$

Passaggio 5.1.3

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x (4 (x - 8) + 50)] - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 (x - 8) + 50$ .

$\frac{(x - 8) (x \frac{d}{d x} [4 (x - 8) + 50] + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 (x - 8) + 50$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]$ .

$\frac{(x - 8) (x (\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 (x - 8)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x - 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.6.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.7

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $50$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + 0) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.8.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (x \cdot 4 + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.8.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{(x - 8) (4 \cdot x + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + (4 (x - 8) + 50) \cdot 1) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.10

Moltiplica $4 (x - 8) + 50$ per $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.13

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.14.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.5.14.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x + 4 \cdot - 8 + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1.1

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{(x - 8) (8 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.3

Somma $- 32$ e $50$ .

$\frac{(x - 8) (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.4

Espandi $(x - 8) (8 x + 18)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (8 x + 18) - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x \cdot x + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{8 x^{2} + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.5.1.3

Sposta $18$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 \cdot x - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.5.1.4

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.5.1.5

Moltiplica $- 8$ per $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.5.2

Sottrai $64 x$ da $18 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x \cdot x - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.8

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.9

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x \cdot - 32 - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.10

Moltiplica $- 32$ per $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.1.11

Moltiplica $50$ per $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 46 x - 144 + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.3

Somma $- 46 x$ e $32 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x - 144 - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.4.4

Sottrai $50 x$ da $- 14 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 64 x - 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.5.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.5.1.2

Scomponi $4$ da $- 64 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 16 x) - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.5.1.3

Scomponi $4$ da $- 144$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.5.1.4

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.5.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x - 36)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.1.6.5.2

Scomponi $x^{2} - 16 x - 36$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 36$ e la cui somma è $- 16$ .

$- 18, 2$

Passaggio 5.1.6.5.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$f' (x) = \frac{4 ((x - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (x - 18) (x + 2) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 18 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $x - 18$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Imposta $x - 18$ uguale a $0$ .

$x - 18 = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $18$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 18$

Passaggio 6.3.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 18) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 18, - 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 8)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Poni $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 7.2.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 18, - 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 18$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{800}{{((18) - 8)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Sottrai $8$ da $18$ .

$\frac{800}{10^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$\frac{800}{1000}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $800$ e $1000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $200$ da $800$ .

$\frac{200 (4)}{1000}$

Passaggio 10.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scomponi $200$ da $1000$ .

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot 5}$

Passaggio 10.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot 5}$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{5}$

Passaggio 11

$x = 18$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 18$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $18$ nell'espressione.

$f (18) = (18) (4 + \frac{50}{(18) - 8})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elimina il fattore comune di $50$ e $(18) - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 (25)}{(18) - 8})$

Passaggio 12.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 9 - 8})$

Passaggio 12.2.1.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot 9 + 2 \cdot - 4})$

Passaggio 12.2.1.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9 + 2 \cdot - 4$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot (9 - 4)})$

Passaggio 12.2.1.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot (9 - 4)})$

Passaggio 12.2.1.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (18) = 18 (4 + \frac{25}{9 - 4})$

Passaggio 12.2.1.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{25}{5})$

Passaggio 12.2.1.3

Dividi $25$ per $5$ .

$f (18) = 18 (4 + 5)$

Passaggio 12.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Somma $4$ e $5$ .

$f (18) = 18 \cdot 9$

Passaggio 12.2.2.2

Moltiplica $18$ per $9$ .

$f (18) = 162$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $162$ .

$y = 162$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{800}{{((- 2) - 8)}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Sottrai $8$ da $- 2$ .

$\frac{800}{{(- 10)}^{3}}$

Passaggio 14.1.2

Eleva $- 10$ alla potenza di $3$ .

$\frac{800}{- 1000}$

Passaggio 14.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune di $800$ e $- 1000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Scomponi $200$ da $800$ .

$\frac{200 (4)}{- 1000}$

Passaggio 14.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1

Scomponi $200$ da $- 1000$ .

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot - 5}$

Passaggio 14.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot - 5}$

Passaggio 14.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{- 5}$

Passaggio 14.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{5}$

Passaggio 15

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = (- 2) (4 + \frac{50}{(- 2) - 8})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Elimina il fattore comune di $50$ e $(- 2) - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 (25)}{(- 2) - 8})$

Passaggio 16.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot - 1 - 8})$

Passaggio 16.2.1.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 4})$

Passaggio 16.2.1.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 4$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot (- 1 - 4)})$

Passaggio 16.2.1.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot (- 1 - 4)})$

Passaggio 16.2.1.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{25}{- 1 - 4})$

Passaggio 16.2.1.2

Sottrai $4$ da $- 1$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{25}{- 5})$

Passaggio 16.2.1.3

Dividi $25$ per $- 5$ .

$f (- 2) = - 2 (4 - 5)$

Passaggio 16.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Sottrai $5$ da $4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 16.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (- 2) = 2$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x (4 + \frac{50}{x - 8})$ .

$(18, 162)$ è un minimo locale

$(- 2, 2)$ è un massimo locale

Passaggio 18