Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.2.3

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.2.4

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + 0$

Passaggio 3.2.8

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2}$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x - \frac{1}{x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 5.1.2.3

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 5.1.2.4

$\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 5.1.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 5.1.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 5.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x - \frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x - \frac{1}{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x - \frac{1}{x} = 0$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 6.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $x - \frac{1}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $x - \frac{1}{x} = 0$ per $x$ .

$x \cdot x - \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Passaggio 6.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 1 = 0 x$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 1$

Passaggio 6.4.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 6.4.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 6.4.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 6.4.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 6.4.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{1} + 1$

Passaggio 10.1.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1 + 1$

Passaggio 10.2

Somma $1$ e $1$ .

$2$

Passaggio 11

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \ln (1)$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{2} - \ln (1)$

Passaggio 12.2.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 0$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + 0$

Passaggio 12.2.2

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ .

$(1, \frac{1}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 14