Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$ come funzione.

$f (x) = \frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + e^{- 5 x}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + e^{- 5 x}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{5 x} + e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{8} (5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 5 x$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 5 x$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Passaggio 2.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Passaggio 2.5.3.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 5 x}$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} - 5 \cdot e^{- 5 x})$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x}) + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Passaggio 2.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

$5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5}{8} e^{5 x} + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Passaggio 2.6.2.2

$\frac{5}{8}$ e $e^{5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Passaggio 2.6.2.3

$- 5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{- 5}{8} e^{- 5 x}$

Passaggio 2.6.2.4

$\frac{- 5}{8}$ e $e^{- 5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{- 5 e^{- 5 x}}{8}$

Passaggio 2.6.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{5 x}}{8}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- 5 x}}{8}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 e^{5 x}}{8}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{5 x}}{8}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{5}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 e^{5 x}}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot \frac{d}{d x} (e^{5 x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{5 x} \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.6

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (5 \cdot e^{5 x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.7

$5$ e $\frac{5}{8}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 5}{8} \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{25}{8} \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.2.9

$\frac{25}{8}$ e $e^{5 x}$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- 5 x}}{8}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{5}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{8} \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + 5 (\frac{5}{8}) \cdot e^{- 5 x}$

Passaggio 3.3.8

$5$ e $\frac{5}{8}$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + \frac{5 \cdot 5}{8} \cdot e^{- 5 x}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + \frac{25}{8} \cdot e^{- 5 x}$

Passaggio 3.3.10

$\frac{25}{8}$ e $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + \frac{25 e^{- 5 x}}{8}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + e^{- 5 x}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + e^{- 5 x}]$

Passaggio 5.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{5 x} + e^{- 5 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 5.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 5.1.3.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{8} (5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 5 x$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 5.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 5 x$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 5.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Passaggio 5.1.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.3.1

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Passaggio 5.1.5.3.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $e^{- 5 x}$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} - 5 \cdot e^{- 5 x})$

Passaggio 5.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x}) + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Passaggio 5.1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1

$5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5}{8} e^{5 x} + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Passaggio 5.1.6.2.2

$\frac{5}{8}$ e $e^{5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Passaggio 5.1.6.2.3

$- 5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{- 5}{8} e^{- 5 x}$

Passaggio 5.1.6.2.4

$\frac{- 5}{8}$ e $e^{- 5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{- 5 e^{- 5 x}}{8}$

Passaggio 5.1.6.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8} = 0$

Passaggio 6.2

Sposta $- \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$\frac{5 e^{5 x}}{8} = \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$

Passaggio 6.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$5 e^{5 x} = 5 e^{- 5 x}$

Passaggio 6.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5 e^{5 x}) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Passaggio 6.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi $\ln (5 e^{5 x})$ come $\ln (5) + \ln (e^{5 x})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{5 x}) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Passaggio 6.5.2

Espandi $\ln (e^{5 x})$ spostando $5 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (5) + 5 x \ln (e) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Passaggio 6.5.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (5) + 5 x \cdot 1 = \ln (5 e^{- 5 x})$

Passaggio 6.5.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (5 e^{- 5 x})$

Passaggio 6.6

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Riscrivi $\ln (5 e^{- 5 x})$ come $\ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$

Passaggio 6.6.2

Espandi $\ln (e^{- 5 x})$ spostando $- 5 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (5) + 5 x = \ln (5) - 5 x \ln (e)$

Passaggio 6.6.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (5) - 5 x \cdot 1$

Passaggio 6.6.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (5) - 5 x$

Passaggio 6.7

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (5) - \ln (5) = - 5 x - 5 x$

Passaggio 6.8

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{5}) = - 5 x - 5 x$

Passaggio 6.9

Dividi $5$ per $5$ .

$\ln (1) = - 5 x - 5 x$

Passaggio 6.10

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0 = - 5 x - 5 x$

Passaggio 6.11

Sottrai $5 x$ da $- 5 x$ .

$0 = - 10 x$

Passaggio 6.12

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 10 x = 0$

Passaggio 6.13

Dividi per $- 10$ ciascun termine in $- 10 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.13.1

Dividi per $- 10$ ciascun termine in $- 10 x = 0$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Passaggio 6.13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.13.2.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.13.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Passaggio 6.13.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 10}$

Passaggio 6.13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.13.3.1

Dividi $0$ per $- 10$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{25 e^{5 (0)}}{8} + \frac{25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 10.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25 e^{5 (0)} + 25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{25 e^{0} + 25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Passaggio 10.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{25 \cdot 1 + 25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $25$ per $1$ .

$\frac{25 + 25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$\frac{25 + 25 e^{0}}{8}$

Passaggio 10.2.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{25 + 25 \cdot 1}{8}$

Passaggio 10.2.6

Moltiplica $25$ per $1$ .

$\frac{25 + 25}{8}$

Passaggio 10.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Somma $25$ e $25$ .

$\frac{50}{8}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune di $50$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$\frac{2 (25)}{8}$

Passaggio 10.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 4}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 4}$

Passaggio 10.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25}{4}$

Passaggio 11

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{e^{5 (0)} + e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (0) = \frac{e^{0} + e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Passaggio 12.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{0}}{8}$

Passaggio 12.2.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = \frac{1 + 1}{8}$

Passaggio 12.2.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (0) = \frac{2}{8}$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (0) = \frac{2 (1)}{8}$

Passaggio 12.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Passaggio 12.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Passaggio 12.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = \frac{1}{4}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$ .

$(0, \frac{1}{4})$ è un minimo locale

Passaggio 14