Calcolo Esempi

$y = \frac{x + 1}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 3 x + 3}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} + 3 x + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3]}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3]}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3]}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3]}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3]}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 3 x + 3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3]}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.11

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 + (- x - 1 \cdot 1) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 + (- x - 1) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Espandi $(- x - 1) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - x (2 x + 3) - 1 (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - x (2 x) - x \cdot 3 - 1 (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - x (2 x) - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 3 x - 2 x - 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 5 x - 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 5 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 5 x + 0}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Somma $x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 5 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 5 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x - 5 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.4

Sottrai $5 x$ da $3 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Scomponi $x$ da $- x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) - 2 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot - 2}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.3

Scomponi $x$ da $x (- x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (- x - 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x (- (x) - 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (2))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{x (- (x + 2))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi $- (x + 2)$ come $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x + 2))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 2)) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3 x + 3)}^{2})}^{2}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 3 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 2)) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 2)) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x + 2) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (x + (x + 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (x + (x + 2) \cdot 1) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (x + x + 2) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.5.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (2 x + 2) - x (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 3 x + 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (2 x + 2) - x (x + 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (2 x + 2) - x (x + 2) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3 x + 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (2 x + 2) - x (x + 2) (2 (x^{2} + 3 x + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 x (x + 2) ((x^{2} + 3 x + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $x^{2} + 3 x + 3$ da ${(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 x (x + 2) ((x^{2} + 3 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Scomponi $x^{2} + 3 x + 3$ da ${(x^{2} + 3 x + 3)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) ((x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2)) - 2 x (x + 2) ((x^{2} + 3 x + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.7.2.2

Scomponi $x^{2} + 3 x + 3$ da $- 2 x (x + 2) ((x^{2} + 3 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) ((x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3 x + 3) (- 2 x (x + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3)))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.7.2.3

Scomponi $x^{2} + 3 x + 3$ da $(x^{2} + 3 x + 3) ((x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3 x + 3) (- 2 x (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) ((x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3)))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Scomponi $x^{2} + 3 x + 3$ da ${(x^{2} + 3 x + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) ((x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3)))}{(x^{2} + 3 x + 3) {(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.13

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.14

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.15

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 3.16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.17

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.17.1

Moltiplica $\frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}} + 0$

Passaggio 3.17.2

Somma $- \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) - 2 x (x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2) + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.1

Espandi $(x^{2} + 3 x + 3) (2 x + 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.2.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 2 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.2.9

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x^{2} + 6 x + 6 x + 6 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.3

Somma $2 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x + 6 x + 6 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.4

Somma $6 x$ e $6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.5.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.5.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 + (- 2 x^{2} - 4 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.6

Espandi $(- 2 x^{2} - 4 x) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 2 x^{2} (2 x + 3) - 4 x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 2 x^{2} (2 x) - 2 x^{2} \cdot 3 - 4 x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 2 x^{2} (2 x) - 2 x^{2} \cdot 3 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.7.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 2 \cdot (2 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 3 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.7.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 3 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.7.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 3 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 3 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 2 \cdot (2 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 3 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 4 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 3 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x (2 x) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 \cdot (2 x \cdot x) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1.7.1.6.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 \cdot (2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 \cdot (2 x^{2}) - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.7

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x^{2} - 4 x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.1.8

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 4 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x^{2} - 12 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.1.7.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 4 x^{3} - 14 x^{2} - 12 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 8 x^{2} + 12 x + 6 - 4 x^{3} - 14 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.2.1

Sottrai $12 x$ da $12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 6 - 4 x^{3} - 14 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.2.2

Somma $2 x^{3} + 8 x^{2} + 6 - 4 x^{3} - 14 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 6 - 4 x^{3} - 14 x^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.3

Sottrai $4 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 8 x^{2} + 6 - 14 x^{2}}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.4

Sottrai $14 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.3

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.3.2

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.3.3

Scomponi $2$ da $6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.3.4

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.3.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.5

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.7

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} + 3 x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.9

Riscrivi $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3)$ come $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.18.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 3.18.12

Moltiplica $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3 x + 3) \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3 x + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3 x + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 3 x + 3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.11

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - (x + 1) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 + (- x - 1 \cdot 1) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 + (- x - 1) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Espandi $(- x - 1) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - x (2 x + 3) - 1 (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - x (2 x) - x \cdot 3 - 1 (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - x (2 x) - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - x \cdot 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 3 x - 2 x - 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 5 x - 3}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 3 x + 3 - 2 x^{2} - 5 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.2.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 5 x + 0}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.2.2

Somma $x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 5 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 5 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 3 x - 5 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2.4

Sottrai $5 x$ da $3 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Scomponi $x$ da $- x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x (- x) - 2 x}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{x (- x) + x \cdot - 2}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3.3

Scomponi $x$ da $x (- x) + x \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{x (- x - 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{x (- (x) - 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$f' (x) = \frac{x (- (x) - 1 \cdot 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (2)$ .

$f' (x) = \frac{x (- (x + 2))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.7

Riscrivi $- (x + 2)$ come $- 1 (x + 2)$ .

$f' (x) = \frac{x (- 1 (x + 2))}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x (x + 2)}{{(x^{2} + 3 x + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (x + 2) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 3)}{{({(0)}^{2} + 3 (0) + 3)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 (0 + 3 \cdot 0^{2} - 3)}{{(0^{2} + 3 (0) + 3)}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 (0 + 3 \cdot 0 - 3)}{{(0^{2} + 3 (0) + 3)}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{2 (0 + 0 - 3)}{{(0^{2} + 3 (0) + 3)}^{3}}$

Passaggio 10.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{2 (0 - 3)}{{(0^{2} + 3 (0) + 3)}^{3}}$

Passaggio 10.1.5

Sottrai $3$ da $0$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(0^{2} + 3 (0) + 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(0 + 3 (0) + 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(0 + 0 + 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(0 + 3)}^{3}}$

Passaggio 10.2.4

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{3^{3}}$

Passaggio 10.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{27}$

Passaggio 10.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{- 6}{27}$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{27}$

Passaggio 10.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Passaggio 10.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{9}$

Passaggio 10.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{9}$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{(0) + 1}{{(0)}^{2} + 3 (0) + 3}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{1}{0^{2} + 3 (0) + 3}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{0 + 3 (0) + 3}$

Passaggio 12.2.2.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = \frac{1}{0 + 0 + 3}$

Passaggio 12.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = \frac{1}{0 + 3}$

Passaggio 12.2.2.4

Somma $0$ e $3$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3 (- 2) + 3)}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3 (- 2) + 3)}^{3}}$

Passaggio 14.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3 (- 2) + 3)}^{3}}$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{2 (- 8 + 12 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3 (- 2) + 3)}^{3}}$

Passaggio 14.1.4

Somma $- 8$ e $12$ .

$\frac{2 (4 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3 (- 2) + 3)}^{3}}$

Passaggio 14.1.5

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{({(- 2)}^{2} + 3 (- 2) + 3)}^{3}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(4 + 3 (- 2) + 3)}^{3}}$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(4 - 6 + 3)}^{3}}$

Passaggio 14.2.3

Sottrai $6$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(- 2 + 3)}^{3}}$

Passaggio 14.2.4

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Passaggio 14.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

Passaggio 14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2}{1}$

Passaggio 14.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 15

$x = - 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{(- 2) + 1}{{(- 2)}^{2} + 3 (- 2) + 3}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2} + 3 (- 2) + 3}$

Passaggio 16.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{4 + 3 (- 2) + 3}$

Passaggio 16.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{4 - 6 + 3}$

Passaggio 16.2.2.3

Sottrai $6$ da $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{- 2 + 3}$

Passaggio 16.2.2.4

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 16.2.3

Dividi $- 1$ per $1$ .

$f (- 2) = - 1$

Passaggio 16.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3 x + 3}$ .

$(0, \frac{1}{3})$ è un massimo locale

$(- 2, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 18