Calcolo Esempi

$y = \frac{9}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{9}{\sqrt{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{9}{\sqrt{x}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 2.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.8.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Passaggio 2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 2.10

$x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.11

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2.12

$- 9$ e $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 2.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.13.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{9}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ come ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Passaggio 3.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Passaggio 3.9

$x^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Passaggio 3.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{9}{2}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Passaggio 3.11

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.12

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f'' (x) = \frac{27 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.12.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{27 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Passaggio 3.12.3

Sposta $x^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{27}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 5

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 6

Nessun estremo locale

Passaggio 7