Calcolo Esempi

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Passaggio 1

Scrivi $y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ come funzione.

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + 0$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Somma $- 3 e^{- x} + e^{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x}$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 5.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Passaggio 5.1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = 3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Passaggio 6.2

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$3 {(e^{x})}^{- 1} + e^{x} - 4 = 0$

Passaggio 6.3

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$3 u^{- 1} + u - 4 = 0$

Passaggio 6.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{u}) + u - 4 = 0$

Passaggio 6.4.2

$3$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} + u - 4 = 0$

Passaggio 6.5

Riordina $\frac{3}{u}$ e $u$ .

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$

Passaggio 6.6

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1, 1$

Passaggio 6.6.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Moltiplica ogni termine in $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ per $u$ .

$u \cdot u + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Passaggio 6.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Passaggio 6.6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Passaggio 6.6.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} + 3 - 4 u = 0 u$

Passaggio 6.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1

Moltiplica $0$ per $u$ .

$u^{2} + 3 - 4 u = 0$

Passaggio 6.6.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

Scomponi $u^{2} + 3 - 4 u$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 6.6.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Passaggio 6.6.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 6.6.3.3

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.3.1

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

Passaggio 6.6.3.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 3$

Passaggio 6.6.3.4

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.4.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 6.6.3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 6.6.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 3) (u - 1) = 0$ vera.

$u = 3, 1$

Passaggio 6.7

Sostituisci $3$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Passaggio 6.8

Risolvi $3 = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Passaggio 6.8.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Passaggio 6.8.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Passaggio 6.8.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Passaggio 6.8.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (3)$

Passaggio 6.9

Sostituisci $1$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Passaggio 6.10

Risolvi $1 = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Passaggio 6.10.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 6.10.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Passaggio 6.10.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Passaggio 6.10.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (1)$

Passaggio 6.10.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.11

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (3), 0$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \ln (3), 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \ln (3)$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$3 - 3 e^{- (\ln (3))}$

Passaggio 10.1.2

Semplifica $- (\ln (3))$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})}$

Passaggio 10.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$3 - 3 \cdot 3^{- 1}$

Passaggio 10.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 - 3 \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 10.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.5.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 10.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 10.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$3 - 1$

Passaggio 10.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$2$

Passaggio 11

$x = \ln (3)$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \ln (3)$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\ln (3)$ nell'espressione.

$f (\ln (3)) = e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Passaggio 12.2.1.2

Semplifica $- (\ln (3))$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})} - 4 \ln (3)$

Passaggio 12.2.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot 3^{- 1} - 4 \ln (3)$

Passaggio 12.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Passaggio 12.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f (\ln (3)) = 3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Passaggio 12.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Passaggio 12.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - 4 \ln (3)$

Passaggio 12.2.1.6

Semplifica $- 4 \ln (3)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (3^{4})$

Passaggio 12.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (81)$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (\ln (3)) = 2 - \ln (81)$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $2 - \ln (81)$ .

$y = 2 - \ln (81)$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$e^{0} - 3 e^{- (0)}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 - 3 e^{- (0)}$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$1 - 3 e^{0}$

Passaggio 14.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 - 3 \cdot 1$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3$

Passaggio 14.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2$

Passaggio 15

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = e^{0} - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Passaggio 16.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{0} - 4 \cdot 0$

Passaggio 16.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 1 - 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (0) = 1 - 3 - 4 \cdot 0$

Passaggio 16.2.1.5

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 1 - 3 + 0$

Passaggio 16.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (0) = - 2 + 0$

Passaggio 16.2.2.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ .

$(\ln (3), 2 - \ln (81))$ è un minimo locale

$(0, - 2)$ è un massimo locale

Passaggio 18